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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Do 23.10.2008 | | Autor: | scrax |
| Aufgabe | Bitte geben Sie die reellen Lösungen der Gleichung
$ [mm] \left| x+1 \right| [/mm] $+$ [mm] \left| x+2 \right| [/mm] $+$ [mm] \left| x+3 \right| [/mm] $=4
an.
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Ich habe leider den Vorkurs verpasst und nun weiß ich gar nicht, wie man überhaupt so eine Aufgabe anzugehen hat.
Könnte mir jmd bitte paar Anhaltspunkte nennen?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Do 23.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Bitte geben Sie die reellen Lösungen der Gleichung
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> [mm]\left| x+1 \right| [/mm]+[mm] \left| x+2 \right| [/mm]+[mm] \left| x+3 \right| [/mm]=4
>
> an.
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> Ich habe leider den Vorkurs verpasst und nun weiß ich gar
> nicht, wie man überhaupt so eine Aufgabe anzugehen hat.
>
> Könnte mir jmd bitte paar Anhaltspunkte nennen?
Beseitige die Betragsstriche. Um dies richtig zu tun, ist eine Fallunterscheidung nötig.
Fall 1: -1 [mm] \le [/mm] x
Da sind alle Terme zwischen den Bertragsstrichen nichtnegativ, und die Stricke können einfach weggelassen werden.
Fall 2: [mm] -2\le [/mm] x < -1
xx1 ist dann negativ, aus |x+1| wird -(x-1). Bei den anderen beiden Beträgen fallen einfach die Striche weg.
Fall 3: -3 [mm] \le [/mm] x < -2
|x+1| wird -(x+1) und |x+2| wird -(x+2).
Fall 4: x<-3
|x+1| wird -(x+1) und |x+2| wird -(x+2) und |x+3| wird -(x+3)
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank im Voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 23.10.2008 | | Autor: | scrax |
hmm...ok, das habe ich gemacht.
also muss ich mir zu beginn einfach überlegen was ich mit dem ersten term machen muss, damit x=0 rauskommt? und dann mit den anderern termen kombinieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hmm...ok, das habe ich gemacht.
> also muss ich mir zu beginn einfach überlegen was ich mit
> dem ersten term machen muss, damit x=0 rauskommt? und dann
> mit den anderern termen kombinieren?
naja, Du musst halt beachten, dass
[mm] $|r|=\begin{cases} r, & \mbox{für } r \ge 0\,, \\ -r, & \mbox{für } r \le 0 \end{cases}\,.$
[/mm]
Damit ist dann
[mm] $|x-1|=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x-1 \ge 0\,, \\ -(x-1)=1-x, & \mbox{für } x-1 \le 0 \end{cases}=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x \ge 1\,, \\ 1-x, & \mbox{für } x \le 1\,. \end{cases}$
[/mm]
Und entsprechendes. Theoretisch erhältst Du hier so dann erstmal $8$ Kombinationsmöglichkeiten von Fällen. Davon sind aber gewisse praktisch unmöglich (z.B. kann ja nicht gleichzeitig $x [mm] \le [/mm] -2$ und $x [mm] \ge [/mm] -1$ gelten).
Eine Alternative, um sich nicht unnötig mit eh nicht auftretbaren Fällen herumzuschlagen, wäre es, sich einfach zu überlegen, wie denn der Graph von $f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|$ ausschaut. Notfalls kannst Du Dir den ja plotten lassen...
Wobei, wenn man sich $f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|=|x+3|+|x+2|+|x+1|$ anschaut, dann sieht man folgendes:
Für $x [mm] \le [/mm] -3$ gilt $x+1 [mm] \le [/mm] 0$, $x+2 [mm] \le [/mm] 0$ und $x+3 [mm] \le [/mm] 0$. Also gilt $f(x)=...$.
Danach sieht man, dass für alle $-3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -2$ man wieder $f$ anders schreiben kann:
Für $-3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -2$ gilt $f(x)=...$.
etc. pp.
Und dann erkennst Du vll. auch, warum ich oben $f(x)=|x+3|+|x+2|+|x+1|$ geschrieben habe. Wenn man dann nämlich von [mm] $-\infty$ [/mm] aus startet und nach rechts läuft, erkennt man die "Intervallgrenzen", die interessieren...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Do 23.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Bitte geben Sie die reellen Lösungen der Gleichung
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> [mm]\left| x+1 \right| [/mm]+[mm] \left| x+2 \right| [/mm]+[mm] \left| x+3 \right| [/mm]=4
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> an.
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> Ich habe leider den Vorkurs verpasst und nun weiß ich gar
> nicht, wie man überhaupt so eine Aufgabe anzugehen hat.
>
> Könnte mir jmd bitte paar Anhaltspunkte nennen?
>
> Vielen Dank im Voraus.
Wenn nur steht "... geben Sie an..." ist nach meinem Verständnis nicht einmal eine Herleitung erforderlich, eine grafische Lösung sollte ausreichen.
Siehe Abbildung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Schnittstellen des roten und des grünen Graphen sind bei x=-2/3 und x=-10/3.
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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))) *freu* -danke marcel
