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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Gleichungen (Logarithmen)
Gleichungen (Logarithmen) < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Gleichungen (Logarithmen): Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Sa 21.05.2005
Autor: Bubbaelz

Hallo!

Kann mir jemand bei der Lösung der folgenden Aufgaben helfen??
Aufgabe ist es, x zu errechnen.

1.)  [mm] 4^{x}= [/mm] 0,125

2.) [mm] 0.5^{x-5}= [/mm] 15

3.) [mm] 7^{3x+2}= 10^{x} [/mm]



        
Bezug
Gleichungen (Logarithmen): Aufgabe 1 als Beispiel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Bubbaelz!


Das Rüstzeug dafür hast Du doch bereits: die Logarithmusfunktion als Umkehrung zur Exponentialfunktion.


Ich zeige Dir das mal bei der 1. Aufgabe:

[mm]4^{x} \ = \ 0,125[/mm]

Um nun das x aus dem Exponenten zu bekommen, werden wir auf beiden Seiten der Gleichung einen Loagrithmus anwenden. Dabei ist es völlig egal, zu welcher Basis dieser Logarithmus ist.
Am schnellsten ginge es mit dem Loagrithmus zur Basis 4 [mm] $\log_4(...)$, [/mm] aber diesen wirst Du wohl auch nicht auf dem Taschenrechner haben, oder? (Ich habe ihn jedenfalls nicht).

Daher wähle ich mal den Logarithmus zur Basis 10:  [mm] $\log_{10}(...) [/mm] \ = \ [mm] \lg(...)$ [/mm]

[mm]\lg\left(4^{x}\right) \ = \ \lg(0,125)[/mm]


Nun MBLogarithmusgesetz: [mm] $\log_b\left(a^m\right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(a)$ [/mm]

[mm]x*\lg(4) \ = \ \lg(0,125)[/mm]   $| \ : [mm] \lg(4)$ [/mm]

[mm]x \ = \ \bruch{\lg(0,125)}{\lg(4)} \ = \ \bruch{-0,903...}{0,602...} \ = \ -1,5 \ = \ - \bruch{3}{2}[/mm]


Gruß
Loddar


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Bezug
Gleichungen (Logarithmen): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Sa 21.05.2005
Autor: Bubbaelz

ok, die 2te aufgabe konnte ich dank deiner hilfe ;)

aber bei der 3. habe ich schwierigkeiten... die angegebne lösung ist  [mm] \approx [/mm] - 1,100894

ich hab 2 lösungsversuche gemacht:
1.) [mm] 7^{3x+2} =10^{x} [/mm]  |lg   |: lg7
(3x+2) = x* [mm] \bruch{lg10}{lg7} [/mm]  |:2  |:x
[mm] \bruch{3x}{x} [/mm] = [mm] \bruch{lg10}{lg7} [/mm]  -2
da würde sich ja dann das x wegkürzen, also geht das ja schonmal nicht

2.) [mm] 7^{3x+2} =10^{x} [/mm]  |lg   |: lg10
(3x+2)* [mm] \bruch{lg7}{lg10} [/mm] = x  |-3x
2 * 0,845 [mm] \approx [/mm] -4x  |:(-4)
-0.4225 [mm] \approx [/mm] x

aber das stimmt ja nicht

was hab ich denn da falsch gemacht??



Bezug
                        
Bezug
Gleichungen (Logarithmen): weitere Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Bubbaelz!


> aber bei der 3. habe ich schwierigkeiten... die angegebne
> lösung ist  [mm]\approx[/mm] - 1,100894

> [mm]7^{3x+2} =10^{x}[/mm]

[ok] Nun bringen wir alles mit einem x auf die eine Seite (nach links z.B.) und den "Rest" auf die andere ...

[mm]3x+2 \ = \ x*\bruch{\lg(10)}{\lg(7)}[/mm]   [mm] $\red{| \ - x*\bruch{\lg(10)}{\lg(7)} \ \ | -2}$ [/mm]

[mm]3x - x*\bruch{\lg(10)}{\lg(7)} \ = \ -2[/mm]


Nun klammern wir auf der linken Seite x aus ...

[mm]x*\left[3 - \bruch{\lg(10)}{\lg(7)}\right] \ = \ -2[/mm]

Nun einfach noch durch die eckige Klammer teilen ...


Kommst Du damit auf Dein gewünschtes Ergebnis?
(Ich habe es jetzt nicht ausgerechnet, war zu faul [peinlich] ...)

Natürlich könnte man auch schon viel früher ersetzen: [mm] $\lg(10) [/mm] \ = \ 1$


Gruß
Loddar


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Bezug
Gleichungen (Logarithmen): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Sa 21.05.2005
Autor: Bubbaelz

nein, bei diesem rechenweg würde ungefähr -1,685 rauskommen :(

was ist das denn für eine aufgabe? *aufreg*

Bezug
                                        
Bezug
Gleichungen (Logarithmen): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:23 Sa 21.05.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

> nein, bei diesem rechenweg würde ungefähr -1,685 rauskommen
> :(
>  
> was ist das denn für eine aufgabe? *aufreg*

Also, ich erhalte da aber als Ergebnis [mm] \approx [/mm] -1,1 - wolltest du das vielleicht rausbekommen? Müsstest du eigentlich, denn wenn ich es in die Gleichung einsetze, dann stimmt es. :-) Vielleicht den Taschenrechner falsch bedient? ;-)

Viele Grüße
Bastiane
[winken]


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Bezug
Gleichungen (Logarithmen): Bestätigung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:12 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Bubbaelz,


auch ich erhalte wie Bastiane exakt Dein o.g. Ergebnis mit $x \ [mm] \approx [/mm] \ - 1,100894$


Gruß
Loddar


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Bezug
Gleichungen (Logarithmen): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:19 So 22.05.2005
Autor: Bubbaelz

ich hab alles noch zweimal gerechnet und jetzt kam bei mir auch endlich -1,100... raus :)

dankeschön

Bezug
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