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| Aufgabe | Gleichung lösen:
[mm] \pmat{ -3 & -10 \\ -2 & 5 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] 7*\vektor{x \\ y} [/mm] |
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Vor allem, wegen dem, was rechts neben dem Gleichheitszeichen steht.
Ich habe erst die Determinante berechnet:
det A = -35
Dann die Inverse:
[mm] \bruch{-1}{35} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 45 & 11 }
[/mm]
Ist das denn bisher so richtig?
Auf jeden Fall komme ich jetzt nicht mehr weiter.
Es wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Fr 05.12.2008 | | Autor: | zetamy |
> Gleichung lösen:
> $ [mm] \pmat{ -3 & -10 \\ -2 & 5 } [/mm] $ * $ [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] $ =
> $ [mm] 7\cdot{}\vektor{x \\ y} [/mm] $
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht
> weiter. Vor allem, wegen dem, was rechts neben dem
> Gleichheitszeichen steht.
Steht auf beiden Seiten der Vektor (x,y)? Wenn ja, musst du das LGS erst umformen:
$ [mm] \pmat{ -3 & -10 \\ -2 & 5 }\cdot\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] 7\cdot\vektor{x \\ y} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow [/mm] $ $ [mm] \pmat{ -3 & -10 \\ -2 & 5 }\cdot\vektor{x \\ y} [/mm] - [mm] 7\cdot\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow [/mm] $ $ [mm] \pmat{ -3 & -10 \\ -2 & 5 }\cdot\vektor{x \\ y} [/mm] - [mm] \pmat{ 7 & 0 \\ 0 & 7}\cdot\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow [/mm] $ $ [mm] (\pmat{ -3 & -10 \\ -2 & 5 }- \pmat{ 7 & 0 \\ 0 & 7})\cdot\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] $
>
> Ich habe erst die Determinante berechnet:
> det A = -35
Richtig. Aber du musst die Determinante von [mm] $\pmat{ -3 & -10 \\ -2 & 5 }- \pmat{ 7 & 0 \\ 0 & 7}$ [/mm] berechnen.
>
> Dann die Inverse:
> $ [mm] \bruch{-1}{35} [/mm] $ * $ [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 45 & 11 } [/mm] $
Es gibt eine einfache Formel für die Inverse bei $ [mm] 2\times2 [/mm] $-Matrizen:
$ [mm] A^{-1}=\pmat{ a & b \\ c & d}^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot\pmat{ d & -b \\ -c & a} [/mm] $
>
> Ist das denn bisher so richtig?
>
> Auf jeden Fall komme ich jetzt nicht mehr weiter.
> Es wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
>
> LG
Viel Erfolg, zetamy.
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Erstmal danke für den Tipp mit der Umformung.
Nun habe ich aber das Problem, dass die Determinante 0 ergibt.
Dann kann ich doch gar nicht die Inverse bestimmen, oder?
[mm] \pmat{ -10 & -10 \\ -2 & -2 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 0}
[/mm]
det A = (-10)*2 - (-10)*2 = 0
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> Erstmal danke für den Tipp mit der Umformung.
> Nun habe ich aber das Problem, dass die Determinante 0
> ergibt.
> Dann kann ich doch gar nicht die Inverse bestimmen, oder?
Hallo,
nein, das geht nicht.
Du siehst an der Determinante, daß dieses Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist.
Bringst Du [mm] \pmat{ -10 & -10 \\ -2 & -2 } [/mm] auf Zeilenstufenform (Gauß) so erhältst Du [mm] \pmat{ 1 & 1\\ 0 &0 },
[/mm]
und nun müßtest Du Dir überlegen, was die Lösungen des Gleichungssystems sind.
Falls Du mit der Koeffizientenmatrix noch nicht recht vertraut bist: das GS hat nun die Gestalt
x+y=0
0=0.
Die Lösungsmenge?
Gruß v. Angela
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Also sind die Spaltn der Matrix A abhängig voneinander und
demnach ist die Lösungsmenge leer? Oder muss man sagen,
dass sie einfach nicht eindeutig bestimmbar ist?
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> Also sind die Spaltn der Matrix A abhängig voneinander
Hallo,
ja.
> und
> demnach ist die Lösungsmenge leer?
Leer? Demnach?
Du darfst nicht einfach, bloß weil da irgendwo 'ne Matrix steht, den Verstand abschalten.
Ich hatte doch das zugehörige Gleichungssystem aufgeschrieben:
x+y=0
0=0,
und ich bin mir sicher, daß Du mir innerhalb kürzester zeit fünf Paare (x,y) nennen kannst, die das System lösen.
Also ist die Lösungsmenge nicht leer.
Leer wäre die Lösungsmenge hiervon:
x+y=0
0=5,
denn kein Paar (x,y) kann die Gleichung 0=5 dazu bringen, richtig zu sein.
> Oder muss man sagen,
> dass sie einfach nicht eindeutig bestimmbar ist?
In Deiner Aufgabe ist die Lösung der Gleichung nicht eindeutig, d.h. es gibt mehrere Lösungen. Die Lösungsmenge ist eindeutig zu bestimmen.
Welche Gestalt müssen die Paare (x,y) haben, die die Gleichung lösen?
Gruß v. Angela
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Wenn gilt:
x+y=0,
dann müssen x und y die gleichen Werte aufweisen, jedoch
muss bei einem der beiden das Vorzeichen vertauscht sein.
Ehrlich gesagt, hatte ich so eine Gleichung noch nie.
Wie würde man das denn dann aufschreiben oder definieren?
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Hallo,
mal vorweg: trag doch mal etwas in Dein Profil (math. Hintergrund, ggf. Studienfach) ein, es ist sonst sehr schwer einzuschätzen, wie man antworten soll und kann.
Daß Du solch ein Gleichungssystem noch nicht gesehen hast, kann ich kam glauben: wir haben es hier mit zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen zu tun, also 9.Klasse.
> Wenn gilt:
> x+y=0,
> dann müssen x und y die gleichen Werte aufweisen, jedoch
> muss bei einem der beiden das Vorzeichen vertauscht sein.
Ja.
Es muß also sein y=-x, und damit haben die Lösungen die Gestalt (x, -x), und zwar für jedes beliebige x, welches man sich ausdenkt.
Das heißt die Lösungen sind allesamt Vielfache von (1,-1).
Ich weiß ja nicht, welche Vorlesung Du besuchst, es gibt mehrere Möglichkeiten, die Lösungsmenge aufzuschreiben.
[mm] L=\{ (x,y)\in \IR^2 | y=-x\}
[/mm]
[mm] L=\{ t*(x,-x)| t\in \IT\}
[/mm]
L=<(1,-1)>
Gruß v. Angela
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