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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi,
irgendwie habe ich Schwierigkeiten mit der Aufgabe. Hier mal mein Lösungsweg:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & y & 0}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1-x & 0 \\ 0 & 1 & y & 0}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1+x & 0 \\ 0 & 0 & 1+y & 0}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & x-y & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Soweit richtig? Und jetzt verstehe ich das mit dem Rang nicht. Der Rang an sich (also ohne 0 0 0 0 hintendran) wäre doch 3.
Egal was ich einsetze, immer wird der resultierende Vektor 0. Irgendwie verstehe ich nicht genau was ich machen soll :-/
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo mikemodanoxxx,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Hi,
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> irgendwie habe ich Schwierigkeiten mit der Aufgabe. Hier
> mal mein Lösungsweg:
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> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & y & 0}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1-x & 0 \\ 0 & 1 & y & 0}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1+x & 0 \\ 0 & 0 & 1+y & 0}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Bis hierher sieht das gut aus
>
> = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & x-y & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Welche Umformung hast du hier vorgenommen, um von der vorletzten auf diese letzte Matrix zu kommen?
Wenn ich das richtig sehe, bekommst du doch den Eintrag [mm] $a_{43}$ [/mm] weg, indem du das $-(1+y)$ fache der 3.Zeile auf das $(1+x)$ fache der 4.Zeile addierst.
Dabei muss [mm] $1+x\neq [/mm] 0$ sein, also [mm] $x\neq [/mm] -1$
Dann ist die komplette 4.Zeile eine Nullzeile und der Rang der Matrix hängt dann nicht von y ab.
$x=-1$ mussten wir für die Umformung ausschließen, also $rg(A)=3$ für $x=-1$ und $y$ beliebig
(3 Nicht-Nullzeilen)
Im Fall $x=-1$ geht die letzte Umformung nicht, da hast du aber direkt die 3.Zeile als Nullzeile und der Rang hängt von y ab:
Je nachdem, ob $y=-1$ oder [mm] $y\neq [/mm] -1$ ist, bekommst du ...
>
> Soweit richtig? Und jetzt verstehe ich das mit dem Rang
> nicht. Der Rang an sich (also ohne 0 0 0 0 hintendran) wäre
> doch 3.
für [mm] $x\neq [/mm] -1, y \ [mm] \text{beliebig}$ [/mm] oder $x=-1, [mm] y\neq [/mm] -1$
> Egal was ich einsetze, immer wird der resultierende Vektor
> 0. Irgendwie verstehe ich nicht genau was ich machen soll
> :-/
Was genau meinst du? Was setzt du wo genau ein und bekommst was?
Gruß
schachuzipus
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hm danke. Aber wie sieht dann der Kern aus? Wenn ich ra(A)=3 habe werden bei mir einfach alle Vektoren 0, also würde der Kern aus dem definitionsbereich bestehen. Eine "richtige" Lösung bekomme ich nur wenn y=-1 und x=-1 ist oder?
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> hm danke. Aber wie sieht dann der Kern aus? Wenn ich
> ra(A)=3 habe werden bei mir einfach alle Vektoren 0, also
> würde der Kern aus dem definitionsbereich bestehen. Eine
> "richtige" Lösung bekomme ich nur wenn y=-1 und x=-1 ist
> oder?
Hallo,
es besteht der Kern, wenn Du eine 4x3-Matrix mit dem Rang 3 hast, also mit Höchstrang, nicht aus sämtlichen Vektoren, sondern er besteht im Gegenteil nur aus dem Nullvektor.
Wenn Du die Matrix mit einem anderen Vektor als mit der Null multiplizierst, kommt nicht die Null raus, probier's aus.
Wenn der Rang dann kleiner als 3 ist, bekommst Du größere Kerne, beim Rang 0 schließlich den Kern [mm] \IR^3.. [/mm]
(Das kann bei Deiner Matrix natürlich nicht passieren. der kleinste Rang, den Deine Matrix haben kann, ist Rang=2, und der Kern, also der Lösungsraum v. Ax=0, ist ein Raum der Dimension 1, eine Gerade also.)
Gruß v. Angela
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