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| Aufgabe | | Wähle für d eine rationale Zahl so, dass das lineare Gleichungssystem a) unendlich viele Lösungen, b) keine Lösung hat. |
Hallo,
habe ich das richtig gelöst?
[mm] \vmat{ x+7y=d \\ 2x+14y=10 }
[/mm]
a)
d=5, denn:
-7y+5+7y=5
5=5
wahre Aussage, daher [mm] \IL=\IR
[/mm]
b)
d=-5, denn:
-7y+5+7y=-5
5=-5
falsche Aussage, daher [mm] \IL=\{\}
[/mm]
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> Wähle für d eine rationale Zahl so, dass das lineare
> Gleichungssystem a) unendlich viele Lösungen, b) keine
> Lösung hat.
> Hallo,
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> habe ich das richtig gelöst?
>
> [mm]\vmat{ x+7y=d \\ 2x+14y=10 }[/mm]
>
> a)
>
> d=5, denn:
>
> -7y+5+7y=5
> 5=5
Woher kommt diese Gleichung mit -7y??
Du addierst erstmal das 2fache der ersten Gleichung zum negativen der zweiten, um x und y zu eliminieren, das ist unabhängig von d:
(I): 2x+14y=2d
-(II): -2x-14y=-10
Addition:
0=2d-10
Jetzt kannst du a und b beantworten.
Für d=5 folgt 0=0 und es gibt in der Tat eine freie Variable, also ja du hast richtig gelöst, auch wenn ich deinen Lösungsweg nicht sehe ;)
> wahre Aussage, daher [mm]\IL=\IR[/mm]
Die Lösungsmenge ist nicht [mm] \IR! [/mm] Du wählst eine Variable als frei, z.B.
[mm] $y=\labda \in \IR$. [/mm] Daraus folgt für x nach der 1. Gleichung:
[mm] $x=5-7y=5-7\lambda$
[/mm]
Damit ist deine Lösung: [mm] $\IL=\{ (x,y) \in \IR^2 | x=5-7\lambda, y=\lambda \}$
[/mm]
>
> b)
>
> d=-5, denn:
>
> -7y+5+7y=-5
> 5=-5
> falsche Aussage, daher [mm]\IL=\{\}[/mm]
Nicht nur. Bei meiner Variante lautete die Gleichung:
$0=2d-10$.
Demnach ist sie NUR für d=5 überhaupt sinnvoll lösbar. ALLE anderen Lösungen erzeugen einen Widerspruch, daher gilt für d:
Damit keine Lösung existiert, muss gelten: $d [mm] \neq [/mm] 5$
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Hallo,
ok soweit verstanden. Wenn die Aussage "wahr" ist wählt man eine Variable und legt an ihr den Lösungsbereich fest (ganz einfach ausgedrückt), richtig? Warum wähle ich für y aber [mm] \lambda, [/mm] mit y handelt es sich doch schon um eine Variable?
>
> Damit ist deine Lösung: [mm]\IL=\{ (x,y) \in \IR^2 | x=5-7\lambda, y=\lambda \}[/mm]
Und in der Lösung schreibst du (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] , also nur alle positiven Rationalen Zahlen? Müsste man y dann nicht auch so definieren:?
> Die Lösungsmenge ist nicht [mm]\IR![/mm] Du wählst eine Variable
> als frei, z.B.
> [mm]y= \lambda \in \IR[/mm].
[mm]y= \lambda \in \IR^2[/mm]?
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> Hallo,
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> ok soweit verstanden. Wenn die Aussage "wahr" ist wählt
> man eine Variable und legt an ihr den Lösungsbereich fest
> (ganz einfach ausgedrückt), richtig? Warum wähle ich für
> y aber [mm]\lambda,[/mm] mit y handelt es sich doch schon um eine
> Variable?
Hallo,
mir fällt es schwer, hierauf verständlich zu antworten.
Ich hole etwas aus.
Es geht hier ja um Lineare Gleichungssysteme.
Zum Lösen von linearen Gleichungssystemem ist der Gaußalgorithmus (Umformen in Zeilenstufenform) sehr nützlich. Er wurde bestimmt im Unterricht besprochen, und "man" muß ihn können.
Lineare Gleichungssysteme haben keine, genau eine oder viele Lösungen.
Beispiele:
genau eine Lösung:
I. x+ 7y=4
II. 2x+15y=10
II-2I ergibt II':
I'. x+ 7y=4
II'. y=2
I'-7II' ergibt I''
I''. x=-10
II''. y=2
Dieses LGS hat genau eine Lösung, nämlich das Zahlenpaar (x|y)=(-10|2)
Gauß-Algorithmus wie oben, aber in Matrixform:
[mm] \pmat{1&7&|&4\\2&15&|&10} [/mm] --> [mm] \pmat{1&7&|&4\\0&1&|&2} [/mm] --> [mm] \pmat{1&0&|&-10\\0&1&|&2} [/mm]
Falls "Rang" besprochen wurde: [mm] \pmat{1&0\\0&1} [/mm] hat denselben Rang wie [mm] \pmat{1&0&|&-10\\0&1&|&2} [/mm] (nämlich 2), also ist das LGS lösbar.
Hier ist Rang=Anzahl der Variablen, also ist das LGS eindeutig lösbar.
letzte Matrix in GS übersetzt: x=-10 , y=4.
genau keine Lösung:
I. x+ 7y=4
II. 2x+14y=10
II-2I ergibt II':
I'. x+ 7y=4
II'. 0=2
Kein Zahlenpaar (x|y) kann machen, daß 0=2 wahr ist.
Also hat das LGS keine Lösung.
Gauß-Algorithmus wie oben, aber in Matrixform:
[mm] \pmat{1&7&|&4\\2&14&|&10} [/mm] --> [mm] \pmat{1&7&|&4\\0&0&|&2} [/mm]
[mm] \pmat{1&7\\0&0} [/mm] hat den Rang 1, [mm] \pmat{1&7&|&4\\0&0&|&2} [/mm] den Rang 2, also ist das LGS nicht lösbar.
letzte Zeile der Matrix in Gleichung übersetzt:
0=*x+0*y=2 <==> 0=2, also keine LSG.
viele Lösungen:
I. x+ 7y=5
II. 2x+14y=10
II-2I ergibt II':
I'. x+ 7y=5
II'. 0=0
Die Richtigkeit der zweiten Gleichung kann durch keine Wahl von x,y verdorben werden.
Sofern wir x und y so organisieren, daß x+7y=4 gilt, ist das LGS gelöst.
Das bedeutet: wir dürfen irgendein beliebiges y wählen, und müssen es dann bloß so einrichten, daß wir das passende x nehmen, nämlich x=4-7y.
Wählen wir also [mm] y:=\lambda, [/mm] so ist das Zahlenpaar [mm] (x|y)=(4-7\lambda|\lambda) [/mm] eine Lösung.
Anders ausgesagt: für jede Wahl von [mm] \lambda [/mm] ist [mm] (x|y)=(4-7\lambda|\lambda)=(4|0)-\lambda*(7|1) [/mm] eine Lösung des LGS.
Also haben wir unendlich viele Lösungen in diesem Falle.
Gauß-Algorithmus wie oben, aber in Matrixform:
[mm] \pmat{1&7&|&5\\2&15&|&10} [/mm] --> [mm] \pmat{1&7&|&4\\0&0&|&0}
[/mm]
Es ist [mm] Rang\pmat{1&7\\0&0}=Rang\pmat{1&7&|&4\\0&0&|&0}, [/mm] also lösbar.
[mm] Rang\pmat{1&7\\0&0}< [/mm] Anzahl der Variablen, also gibt es unendlich viele Lösungen.
>
> >
> > Damit ist deine Lösung: [mm]\IL=\{ (x,y) \in \IR^2 | x=5-7\lambda, y=\lambda \}[/mm]
>
> Und in der Lösung schreibst du (x,y) [mm]\in \IR^2[/mm] , also nur
> alle positiven Rationalen Zahlen?
Nein, das bedeutet, daß x und y beide aus [mm] \IR [/mm] kommen müssen.
Die Menge, die alle reellen Zahlenpaare enthält, nennt man [mm] $\IR^2$ [/mm] oder auch [mm] \IR\times\IR.
[/mm]
LG Angela
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