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| Aufgabe | Der Satz sagt aus:
sei [mm] \beta \in [/mm] IR und z [mm] \in IR^n. [/mm] Die Gleichung
[mm] x^T(I-\beta [/mm] z [mm] z^T)x=0
[/mm]
hat 2(n-1) Lösungen [mm] x\not=0 [/mm] wenn [mm] M=(I-\beta [/mm] z [mm] z^T) [/mm] indefinit ist
und eine Lösung wenn M positiv semidefinit ist. |
Meine Frage ist: ist es richtig, was in dem Satz behauptet wird. Meiner Meinung nach kann es garn nicht zutreffen. Denn wenn die Matrix symmetrisch ist, können wir die Eigenvektoren ortogonal wählen. Der eine EV wäre dann z. Die anderen alle senkrecht dazu. Wenn dann alle Eigenwerte ungleich Null wären, und deswegen die Matrix regulär, gäbe es in diesem Fall keinen Vektor der auf Null abgebildet wird.
Was jetzt noch bleibt wäre der Fall, wo der Vektor auf einen zu ihm senkrechten Vektor abgebildet wird. In diesem Fall hätte das Gleichungssystem ebenfalls eine nicht triviale Lösung. Das kann aberr hier nicht passieren. Denn jeden Vektor könnten wir als Linearkombination der Eigenvktoren darstellen und das Bild könnte niemals senkrecht zum Urbild werden.
Sehe ich das ganze richtig?
Ist der oben angegebene Satz falsch?
Danke Euch allen
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Hallo,
mit einer Lösung für Dein Problem kann ich nicht dienen, das ist ist mir zu schwierig oder zu mühsam...
Hast Du den Satz denn schon mit konkreten Werten getestet? So gehe ich solche Dinge normalerweise an.
Kannst Du nicht eine Deinen Überlegungen entsprechende Matrix konstruieren, mithilfe welcher Du ihn widerlegst oder - je nach Sachlage - einen Denkfehler einsiehst?
Das wäre das Eleganteste: ein Beispiel hervorzaubern und den Satz zu widerlegen. Wenn er zu widerlegen ist.
Gruß v. Angela
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O.K. der Satz ist Korrekt! der Beweis im Script den ich gelesen habe, war irgendwie fehlerhaft. Hier mein Beweis.
Da Matrix symmetrisch sind alle EV orthogonal. Wähle sie als Basis für den Raum. Die EW seien $ [mm] \delta_i [/mm] $ .
Jeden beliebigen Vektor im Raum kann ich dann als
$ [mm] x=\summe_{i=1}^{n}\alpha_i*v^i [/mm] $ darstellen.
Nun kommt die Multiplikation:
$ [mm] M*x=\summe_{i=1}^{n}\alpha_i*\lambda_i*v^i [/mm] $ und dann die Multiplikation mit $ [mm] x^T [/mm] $ ergibt
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}\alpha_i*\delta_i [/mm] $.
Dies ergibt also eine Gleichung
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}\alpha_i*\lambda_i=0 [/mm] $ mit n Unbekannten, die also n-1 Lösungen hat. Deswegen gibt's 2*(n-1) Vektoren die das Problem lösen.
bis dann
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