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| Aufgabe |
! Löse folgendes Gleichungssystem!
x+y=1
x+z=6
z-y=5 |
Liebe Matheliebhaber,
wir haben gestern Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten durchgenommen, an sich ja nicht unbedingt das alllleerrrr schwerste an der Mathematik, aber das oben ist gaanz schön verzwickt.. daher würde ich mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.
Danke.
Sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Sa 25.02.2006 | | Autor: | lui |
Sersn
Das Gleichungssystem ist eigentlich so einfach wie es ausschaut 
Ich glaube dein Problem ist, dass bei dir irgendwann das y wegfällt. Oder?
Was heißt denn das?
Ich hoffe du hast verstanden worauf ich hinaus will!
Grüße lui
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Mhm.. tja, du...ich glaube genau das ist mein Problem, das problem ist aber auch das ich schlicht weg nicht weiss wie ich das rechenen soll um weiterzukommen.. ich rechne hier alles hin und her und kreuz und quer.. nur ich komm nicht wirklich zum ergebnis...
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> Mhm.. tja, du...ich glaube genau das ist mein Problem, das
> problem ist aber auch das ich schlicht weg nicht weiss wie
> ich das rechenen soll um weiterzukommen.. ich rechne hier
> alles hin und her und kreuz und quer.. nur ich komm nicht
> wirklich zum ergebnis...
x+y=1
x+z=6
z-y=5
Was erhältst du denn, wenn du die erste und die dritte Gleichung addierst?!
Es gibt schließlich nicht nur Gleichungssysteme mit genau einer Lösung!
Schaffst du's jetzt?
Gruß informix
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Hi!
Nichts leichter als das.... Also, ich mach das am liebsten mit Gauss-Jordan (solltest hoffentlich kennen wenns um Gleichungssysteme geht)
So sieht das dann aus, in etwa
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 1 & 0 & 1 & | & 6 \\ 0 & -1 & 1 & | &5}
[/mm]
Nach Abziehen der 2. Zeile von der ersten kriegst das:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 & | & -5 \\ 1 & 0 & 1 & | & 6 \\ 0 & -1 & 1 & | & 5}
[/mm]
So, dann noch addieren von Z3 mit Z1.....
Fällt dir was auf? Das gibt eine Nullzeile (sofern ich mich net verrechnet hab...)
Dh. 0*x+0*y+0*z=0
Damit sind wir beim Begriff der linearen Abhängigkeit. Jetzt solltest aber wissen was zu machen is!!
Falls net: eine Variable frei wählbar!
MfG Chrissy
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Also, da schau ich überhaupt nicht durch, da ich das alles noch nicht kenne.
Ich bin ja schließlich nur im Mathe BASISKURS in der 11/1.
Ich wäre dankbar für einen anderen Ansatz , oder eine Erklärung bzw. und Rechenweg!
Ich muss dazu sagen, dass ich mit einen paar zahlen aufgrund einer matheschwäche nichts anfangen kann und wirklich Rechenwege und Erklärungen sehr ausführlich brauch um dahinter zu kommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Sa 25.02.2006 | | Autor: | Andi |
Hallo Sabrina,
ich will mal versuchen es dir zu erklären.
Also wir haben zunächst einmal 3 Gleichungen.
(1) x+y=1
(2) x+z=6
(3) z-y=5
Und wir suchen nach Lösungen von diesem Gleichungssystem.
Das heißt nach Punkten (x;y;z) die alle drei Gleichungen erfüllen.
Grundsätzlich gibt es viele "Wege" so ein Gleichungssystem zu lösen.
Ich werde dir hier den meiner Meinung nach vom ersten Verständnis her leichtesten Weg anbieten. Er ist aber leider sehr langwierig, umständlich und auch nicht besonders schön.
Also gut fangen wir an.
Wir lösen die erste Gleichung nach x auf und erhalten:
(1´) x=1-y
das setzen wir für alle x in die unteren Gleichungen ein und erhalten:
(2´) 1-y+z=6
(3´) z-y=5
Wenn wir (2´) ein wenig umformen stellen wir erschrocken fest:
(2´´) z-y=5 ist gleich (3´) das heißt man hat uns einer Gleichung beraubt.
Wir haben in Wirklichkeit nur 2 (linear unabhängige, wenn dir das nichts sagt vergiss es bitte wieder ) Gleichungen für 3 Unbekannte.
Das macht aber nichts, wir können trotzdem weiterhin nach Lösungen suchen. Wir wissen aber jetzt dass es nicht eine eindeutige Lösung geben wird sondern mehrere.
Also wir wissen bis jetzt:
(1) x=1+(-y)
y=0+y
(3´´) z=5+y
Das heißt ich kann mir zu jeden beliebigen y ein x und z ausrechnen,
so dass der entsprechende Punkt (x;y;z) unser obiges Gleichungssystem erfüllt.
Die Lösungsmenge können wir daher so angeben:
[mm] \IL= \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}:\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}+ \lambda*\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}; \lambda \in \IR \}[/mm]
Wenn du mir nicht glaubst dass das alles Lösungen sind, dann probier doch mal ein paar konkrete Lösungen aus und setze diese in das Gleichungssystem ein. Du wirst sehen, es funktioniert.
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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Hallo Sabrina,
Andi schrieb:
Also wir wissen bis jetzt:
(1) x=1+(-y)
y=0+y
(3´´) z=5+y
Das heißt ich kann mir zu jeden beliebigen y ein x und z ausrechnen,
so dass der entsprechende Punkt (x;y;z) unser obiges Gleichungssystem erfüllt.
Vielleicht kennst du Vektoren noch gar nicht.
dann kannst du so weiter überlegen:
(3'') z = 5 + y
(1) x = 1 - y
Das bedeutet: wenn du dir für y eine Zahl überlegst und einsetzt, bekommst du eine Lösung:
y = 1: [mm] \Rightarrow [/mm] x = 0 und z = 6 Mach mal am Ausgangssystem die Probe!
y = 5: [mm] \Rightarrow [/mm] x = -4 und z = 10
oder mach gleich die Probe mit z = 5 + y und x = 1 - y; du wirst sehen, das geht!
Das meinte ich mit "mehreren" Lösungen, es sind sogar unendlich viele. 
Gruß informix
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