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| Aufgabe | Sei X eine auf dem Interall [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable.
a) Man bestimme durch explizite Rechnung E(X) und [mm] E(X^2).
[/mm]
b) Man bestimme die Verteilungsfunktion und Dichte von [mm] \bruch{1}{X}
[/mm]
Die Zufallsvariablen [mm] X_1,...,X_n [/mm] seinen unabhängig und identisch nach [mm] N(\mu,\nu^2) [/mm] verteilt.
c) Welche Verteilung hat [mm] S=\summe_{i=1}^{n}X_i? [/mm] Sie dürfen benutzen, dass S normalverteilt ist. Bestimmen Sie die Parameter ohne Benutzung eines Faltungsprozesses. |
Hi,
also a) habe ich noch hinbekommen.
[mm] E(X)=\integral_{0}^{1}{x*1 dx}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] E(X^2)=\integral_{0}^{1}{x^2*1 dx}=\bruch{1}{3}
[/mm]
Bei b) komme ich aber jetzt schon nicht mehr weiter. Wie sieht [mm] \bruch{1}{X} [/mm] aus? das versteh ich gerade nicht.
Für die Gleichverteilung gilt ja [mm] f(t)=1_{[0,1]}(t)=\begin{cases} 1, t \in [0,1] \\ 0, t \not\in [0,1] \end{cases} [/mm] . Weiß aber nicht, wie ich jetzt [mm] \bruch{1}{X} [/mm] drauf anwende. damit ist ja nicht sowas gemeint:
[mm] f(t)=\bruch{1}{1_{[0,1]}(t)}=\bruch{1}{\begin{cases} 1, t \in [0,1] \\ 0, t \not\in [0,1] \end{cases}}
[/mm]
oder??
Danke für Hilfe.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo jaruleking,
Du hast schon recht, Deine Vermutung zur Abbildung ist nicht so ganz korrekt.
Da die Dichte von X gegeben ist, kannst Du auch die Verteilungsfunktion bestimmen in den Grenzen von 0 und 1. Wenn Du nun die neue Zufallsvariable 1 / X betrachtest, die ich hier mal mit Y bezeichne, dann hast Du durch die Gleichung y = 1 / x eine Abbildung, die Du einsetzen kannst.
$$ [mm] F_y [/mm] (y) = P(x [mm] \leq \bruch{1}{y})=F_x(\bruch{1}{y}) [/mm] $$
Du musst Dir also überlegen, wie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X durch diese Abbildungsfunktion geändert wird.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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Hi,
> [mm] F_y [/mm] (y) = P(x [mm] \leq \bruch{1}{y})=F_x(\bruch{1}{y})
[/mm]
ok,meine Verteilungsfunktion von f lautet ja:
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, x \le 0 \\ x, 0 \le x \le 1 \\ 1, x \ge 1\end{cases} [/mm]
Ich hatte auch mal ein anderes Beispiel hier, da wurde mir gezeigt, dass man die Dichte wie folgt berechnen kann:
> [mm] f_{Z}(z)=f_{g(Y)}(z)=f_{X}(g^{-1}(z))g^{-1}'(z) [/mm]
so bei uns ist ja jetzt [mm] y=g(x)=\bruch{1}{x}, [/mm] also [mm] x=g^{-1}(y)= \bruch{1}{y} [/mm] und [mm] g^{-1}'(y)=\bruch{-1}{y^2}. [/mm]
jetzt ist die Sache, nach der obigen Formel muss ich ja jetzt was einsetzen die Dichte der Gleichverteilung, aber bei
$ [mm] f(t)=1_{[0,1]}(t)=\begin{cases} 1, t \in [0,1] \\ 0, t \not\in [0,1] \end{cases} [/mm] $ gibts ja nicht, wo man was einsetzen kann, heißt das dann, dass unsere neue Dichte so aussieht:
[mm] f_Y(y)=f(y)=\begin{cases} \bruch{-1}{y^2}, y \in [0,1] \\ 0, y \not\in [0,1] \end{cases} [/mm]
Und für die Verteilungsfunktion von [mm] \bruch{1}{X} [/mm] müsste es doch analog ablaufen, oder? also ich würde es dann so machen:
[mm] F(y)=\begin{cases} 0, y \le 0 \\ \bruch{1*(-1)}{y*(y^2)}, 0 \le y \le 1 \\ \bruch{1*1}{y}, y \ge 1\end{cases} [/mm]
So ist das jetzt richtig oder alles schwachsinn, was ich hier gemacht habe??
Danke für Hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hi,
der Weg ist okay, die Formel zur Umwandlung aber nur fast, denn da wurde im Nenner ein Betragszeichen vergessen. Eine negative Dichte macht wenig Sinn. Also einfach mit
$$ [mm] \left| g^{-1{'}} (y)\right| [/mm] $$ rechnen. Außerdem stimmen die Grenzen der Dichtefunktion noch nicht. Wenn x zwischen 0 und 1 liegt, kann dies wohl für y kaum gelten, es sei denn mann hätte die Funktion y = x .
Viele Grüße,
Infinit
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Hi, also nochmal.
d.h. die Dichte lautet dann:
[mm] f_Y(y)=f(y)=\begin{cases} \bruch{1}{y^2}, y \in (0,1] \\ 0, y \not\in [0,1] \end{cases}
[/mm]
und dann die Verteilungsfunktion einfach:
[mm] F(y)=\begin{cases} 0, y \le 0 \\ \bruch{1\cdot{}(1)}{y\cdot{}(y^2)}, 0 \le y \le 1 \\ \bruch{1\cdot{}1}{y}, y \ge 1\end{cases}
[/mm]
Aber wie ändere ich jetzt die grenzen? Das habe ich nicht ganz verstanden...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Nun, wenn die Zufallsvariable x Werte aufweist zwischen 0 und 1 und Du betrachtest nun die Abbildung
$$ y = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $$
welcher Wertebereich ergibt sich dafür?
VG,
Infinit
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Naja, für
y = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
fällt ja die 0 weg, heißt das, dass die Funtkion dann nur für 1 definiert ist oder wie??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Du hast doch eine kontinuierliche Dichtefunktion gegeben, nicht nur ein Wert bei 1. Je mehr die x-wWerte sich der Null nähern, umso größer wird doch wohl y. Wie wäre es denn mit dem Intervall zwischen 1 und Unendlich?
VG,
Infinit
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D.h. du schlägst sowas vor:
$ [mm] f_Y(y)=f(y)=\begin{cases} \bruch{1}{y^2}, y \in [1,\infty) \\ 0, sonst \end{cases} [/mm] $
und wie sieht es dann bei der Verteilungsfunktion aus? so etwa:
$ [mm] F(y)=\begin{cases} 0, y \le 0 \\ \bruch{1}{y^3}, 0 < y \le 1 \\ \bruch{1}{y}, y \ge 1\end{cases} [/mm] $
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Wenn sich die Verteilungsfunktion aus der Integration über die Dichte ergibt, wie können sich denn da die Variablenwerte für y ändern, das musst Du mir mal erklären. Außerdem glaube ich nicht, dass die Integration über [mm] \bruch{1}{y^2} [/mm] etwas mit einer dritten Potenz im Nenner ergibt.
Infinit
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> Außerdem glaube ich nicht, dass die Integration über $ [mm] \bruch{1}{y^2} [/mm] $ etwas mit einer dritten Potenz im Nenner ergibt.
heißt das, meine Verteilungsfunktion ist gar nicht richtig?? und die müsste so lauten:
[mm] F(y)=\begin{cases} \bruch{-1}{y}, y \ge 1 \\ 0, sonst \end{cases}??
[/mm]
weil nur [mm] \bruch{-1}{y} [/mm] abgeleitet ergibt wieder [mm] \bruch{1}{y^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Ja, der Integrand ist richtig nun. Und wenn Du es durch Einsetzen von ein paar y-Werten überprüfst, siehst Du, dass sich mit wachsendem y die Werte immer mehr der 1 nähern. Dazu solltest Du allerdings noch die Konstante aus der unteren Integrationsgrenze von 1 beachten. Deswegen ist die Schreibweise
$$ [mm] F(y)=\begin{cases} \bruch{-1}{y} + 1, y \ge 1 \\ 0, sonst \end{cases} [/mm] $$ die ganz korrekte Form.
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Ok danke.
hat vielleicht noch jemand ne idee zu c)???
> Die Zufallsvariablen $ [mm] X_1,...,X_n [/mm] $ seinen unabhängig und identisch nach $ [mm] N(\mu,\nu^2) [/mm] $ verteilt.
> c) Welche Verteilung hat $ [mm] S=\summe_{i=1}^{n}X_i? [/mm] $ Sie dürfen benutzen, dass S normalverteilt ist. Bestimmen Sie die Parameter ohne Benutzung eines Faltungsprozesses.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Na gut, dann mache ich halt mal weiter.
Die Idee hinter der Argumentation ist, dass die Summe zweier normalverteilter Zufallsvariablen mit den Mittelwerten [mm] \mu_1 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] und den Varianzen [mm] \sigma_1^2 [/mm] und [mm] \sigma_2^2 [/mm] wieder zu einer Normalverteilung führt, deren Mittelwert und deren Varianz sich aus der Summe der entsprechenden Parameter der Einzelfunktion ergibt. Man fängt also mit der Summe von zwei Normalverteilungen an, bestimmt deren Parameter als Summe der entsprechenden Einzelwerte. Zu dieser Zufallsvariablen addiert man nun, in Deiner Schreibweise, [mm] X_3 [/mm], dann kommt die nächste Variable dazu, bis man alle n Einzelkomponenten aufaddiert hat. Was kommt dabei wohl für den Mittelwert und die Varianz heraus, wenn die Einzelwerte jeweils [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] betragen?
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Also für die Normalverteilung gilt ja:
Dichte:
[mm] f(x)=\bruch{1}{\sigma \wurzel{2\pi}}e^{(\bruch{-1}{2} (\bruch{x-\mu}{\sigma})^2)}
[/mm]
Verteilungsfunktion:
[mm] F(X)=\bruch{1}{\sigma \wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{x}{e^{(\bruch{-1}{2} (\bruch{x-\mu}{\sigma})^2)}}
[/mm]
d.h. Für die Summe gilt dann:
[mm] S=\summe_{i=1}^{n}X_i=n*(\bruch{1}{\sigma \wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{x}{ e^{(\bruch{-1}{2} (\bruch{x-\mu}{\sigma})^2)})
dt}
[/mm]
> Was kommt dabei wohl für den Mittelwert und die Varianz heraus, wenn die Einzelwerte jeweils $ [mm] \mu [/mm] $ und $ [mm] \sigma [/mm] $ betragen?
eigentlich einfach das n-fache oder??
also [mm] n*\mu [/mm] und [mm] n*\sigma [/mm] oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Ja, das habe ich auch rausbekommen. Allerdings addieren sich die Varianzen also die [mm]\sigma^2 [/mm]-Werte.
Viele Grüße,
Infinit
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