Gleichverteilung, Dichte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man betrachte die Zufallsvariabeln [mm] X_{1},...,X_{n}, [/mm] welche gleichverteilt auf dem Intervall [0,1] sind, d.h. [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{in [0,1]}\\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}.
[/mm]
Sei Y= [mm]max{{X_{1},...,X_{n}} [/mm]. Berechne die Dichte von Y, die Erwartung und die Varianz |
Hallo zusammen,
ich habe so meine Mühe mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ich kenne mich mit der Dichte nicht aus. Wie kann ich hier die Dichte davon berechnen? Ausserdem kann ich mir Y nicht vorstellen.
Es gilt ja: P(X [mm] \le [/mm] t) = [mm] \integral_{- \infty}^{t}{f(x) dx}. [/mm] Wie finde ich aber in diesem Fall die Verteilungsfunktion f?
Den Erwartungswert und die Varianz kann ich schnell berechnen, wenn ich einmal die Dichtefunktion habe.
Kann mir bitte jemand diese verteilungsfunktion erklären oder herleiten? Vielen Dank
Euer GorkyPark
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Sa 01.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo GorkyPark,
ich vermute, dass du unterschlagen hast, dass die Zufallsvariablen
unabhengig sind. Wenn ja, kannst du so vorgehen:
1) Bestimme die Verteilungsfunktion $G$ von $Y$, also
[mm] \begin{matrix}
G(y)&=&P(Y\le y) \\
&=&P(\max\{X_1,...,X_n\}\le y) \\
&=&P(X_1\le y,...,X_n\le y) \\
&=&P(X_1\le y)\times...\times P(X_n\le y) \\
&=&F^n(y) \\
&=&y^n \\
\end{matrix}
[/mm]
fuer $0<y<1$. Dabei ist $F$ die Verteilungsfunktion von [mm] $X_i$. [/mm] Fuer
[mm] $y\le [/mm] 0$ ist $G(y)=0$ und fuer [mm] $1\le [/mm] y$ ist $G(y)=1$.
Ab hier kannst du uebernehmen...
lg
Luis
|
|
|
| |
|
> Hallo GorkyPark,
>
> ich vermute, dass du unterschlagen hast, dass die
> Zufallsvariablen
> unabhengig sind. Wenn ja, kannst du so vorgehen:
Hallo Luis! Vielen Dank erstmal für deine Antwort. Ja, sie sind unabhängig!
> 1) Bestimme die Verteilungsfunktion [mm]G[/mm] von [mm]Y[/mm], also
>
> [mm]\begin{matrix}
G(y)&=&P(Y\le y) \\
&=&P(\max\{X_1,...,X_n\}\le y) \\
&=&P(X_1\le y,...,X_n\le y) \\
&=&P(X_1\le y)\times...\times P(X_n\le y) \\
&=&F^n(y) \\
&=&y^n \\
\end{matrix}[/mm]
Wo hast du hier verwendet, dass es das Maximum sein soll?
>
> fuer [mm]0
> Fuer
> [mm]y\le 0[/mm] ist [mm]G(y)=0[/mm] und fuer [mm]1\le y[/mm] ist [mm]G(y)=1[/mm].
>
Ich muss gestehen, dass ich keinen Plan habe wie es weitergeht. Ich weiss nicht was ichjetzt mit diesem Resultat anstellen soll... Ich finde mich auf diesem Gebiet noch nicht so richtig zu recht
Es wäre toll, wenn du mir noch ein bisschen helfen könntest.
Schöne Grüsse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 So 02.12.2007 | | Autor: | luis52 |
>
> > 1) Bestimme die Verteilungsfunktion [mm]G[/mm] von [mm]Y[/mm], also
> >
> > [mm]\begin{matrix}
G(y)&=&P(Y\le y) \\
&=&P(\max\{X_1,...,X_n\}\le y) \\
&=&P(X_1\le y,...,X_n\le y) \\
&=&P(X_1\le y)\times...\times P(X_n\le y) \\
&=&F^n(y) \\
&=&y^n \\
\end{matrix}[/mm]
>
> Wo hast du hier verwendet, dass es das Maximum sein soll?
$Y$ ist das Maximum. Das Ereignis [mm] $(Y\le [/mm] y)$ tritt genau dann ein,.
wenn alle Werte [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] kleiner oder gleich sind.
> >
> > fuer [mm]0
> > Fuer
> > [mm]y\le 0[/mm] ist [mm]G(y)=0[/mm] und fuer [mm]1\le y[/mm] ist [mm]G(y)=1[/mm].
> >
>
> Ich muss gestehen, dass ich keinen Plan habe wie es
> weitergeht. Ich weiss nicht was ichjetzt mit diesem
> Resultat anstellen soll... Ich finde mich auf diesem Gebiet
> noch nicht so richtig zu recht
> Es wäre toll, wenn du mir noch ein bisschen helfen
> könntest.
>
Wo soll ich hier anfangen? Weisst du um den Zassamenhang zwischen Verteilungsfunktion und
Dichte? Weisst du, wie man mit der Dichte den Erwartungswert bzw. die Varianz berechnet?
Wenn nein rate ich dir, ein ordentliches Statistikbuch zur Hand zu nehmen.
lg Luis
|
|
|
|
