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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:59 Di 05.04.2016 | | Autor: | Rocky14 |
Hallo Leute,
ich habe zu nachfolgendem Skript ein paar Fragen. Es wäre super, wenn mir da jemand weiterhelfen kann.
https://www.google.de/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://ilias.unibe.ch/goto_ilias3_unibe_file_915739_download.html&ved=0ahUKEwj2-rirp_jLAhUHow4KHR7zARQQFggaMAA&usg=AFQjCNEgbahECgfY8CC1DgfqBlT3eF-Vcg&sig2=swySxx8iC7_Vrw-Qn9eQXw
Und zwar geht es um Kapitel 5. Dort steht direkt zu Anfang:
"Zunächst halten wir fest, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(5.1) [mm] $||P_n [/mm] - P||_ D [mm] \rightarrow [/mm] _p$ 0
(5.2) [mm] $E||P_n [/mm] - [mm] P||_D \rightarrow$ [/mm] 0
(5.3) [mm] $E||P_n^0|| \rightarrow [/mm] $ 0 mit [mm] $P_n^0 [/mm] := [mm] n^{-1} \sum_{i=1}^{n} \epsilon [/mm] _i [mm] \delta_X_i [/mm] $
Anschließend wird auch eine kurzer Hinweis zum Beweis gegeben, leider verstehe ich nicht ganz, warum damit jetzt die Behauptung folgt. Ich schreibe mal kurz meine Überlegungen und Fragen dazu auf:
(5.1) <=> (5.2):
"folgt aus der Tatsache, dass [mm] $||P_n [/mm] - [mm] P||_D$ [/mm] immer kleiner oder gleich 1 ist"
-> warum folgt damit die Behauptung?
(5.2)=>(5.3):
Es gilt [mm] $\dfrac {E||P_n - P||_D}{2} \le E||P_n^0||$. [/mm] Wenn nun also die linke Seite gegen 0 konvergiert, konvergiert aus Gründen der Stetigkeit auch die rechte Seite gegen 0.
Den Beweis von dieser Ungleichung habe ich verstanden.
(5.3)=>(5.2)
Hier soll folgende Ungleichung helfen:
[mm] $E||P_n^0|| \le 2E||P_n-P||_D+n^{-1/2} [/mm] $
Ich habe ein bisschen gegoogelt und herausgefunden, dass auch folgende Gleichung gilt:
[mm] $\dfrac {1}{2}E||P_n^0||-\dfrac {1}{2n^{1/2}} \le E||P_n-P||$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow E||P_n^0||-\dfrac {1}{n^{1/2}} \le 2E||P_n-P||$
[/mm]
$ [mm] \Leftrightarrow E||P_n^0|| \le 2E||P_n-P||_D+n^{-1/2} [/mm] $
Leider bekomme ich keine der Ungleichungen bewiesen.
Ich habe bisher versucht:
[mm] $P_n^0 [/mm] = 1/n [mm] \sum_{i=1}^n \epsilon [/mm] _i [mm] \delta _X_i [/mm] $
$=1/n [mm] (\sum_{i \in {i \le n: \epsilon_i=1}}\epsilon [/mm] _i [mm] \delta _X_i +\sum_{i \in {i \le n: \epsilon_i=-1}}\epsilon [/mm] _i [mm] \delta _X_i) [/mm] $
[mm] $\Rightarrow [/mm] E [mm] (P_n^0) [/mm] = E (1/n [mm] \sum_{i=1}^n \epsilon [/mm] _i [mm] \delta _X_i [/mm] )$
[mm] $=\dfrac [/mm] {1}{n} [mm] (\sum_{i \in {i \le n: \epsilon_i=1}}\epsilon [/mm] _i [mm] \delta _X_i +\sum_{i \in {i \le n: \epsilon_i=-1}}\epsilon [/mm] _i [mm] \delta _X_i [/mm] )$
[mm] $=\dfrac [/mm] {1}{n} [mm] E(\sum_{i \in {i \le n: \epsilon_i=1}}\epsilon [/mm] _i [mm] \delta _X_i +\sum_{i \in {i \le n: \epsilon_i=-1}}\epsilon [/mm] _i [mm] \delta _X_i [/mm] )$
[mm] $\le \dfrac {1}{n^{1/2}}E(\sum_{i \in {i \le n: \epsilon_i=1}}\epsilon [/mm] _i [mm] \delta _X_i +\sum_{i \in {i \le n: \epsilon_i=-1}}\epsilon [/mm] _i [mm] \delta _X_i [/mm] )$
[mm] $\le \dfrac {1}{n^{1/2}} 2E(\sum_{i}\epsilon [/mm] _i [mm] \delta _X_i [/mm] )$
Nun weiß ich aber nicht, wie mir das helfen soll :(
Wäre wirklich super, wenn mir da jemand weiterhelfen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 13.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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