Glm. Konvergenz einer F.-Folge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Do 19.06.2008 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | | Sei [mm](f_n)_{n\in\IN} \subset C([a,b])[/mm] eine Folge monotoner Funktionen, die punktweise gegen [mm]f\in C([a,b])[/mm] konvergiert. Zeigen Sie, dass [mm](f_n)[/mm] gleichmäßig gegen [mm]f[/mm] konvergiert. |
Hallo,
Mein Prof meinte, das soll man am Besten durch Widerspruch zeigen. Also nehmen wir mal an die Behauptung sei falsch. D.h.
[mm]\exists\varepsilon_0>0:\forall n\in\IN:\exists x_n\in[a,b], m_n>n:|f(x_n)-f_{m_n}(x_n)|>\varepsilon_0[/mm]
Ich will nun zeigen, dass dann [mm]f[/mm] nicht stetig wäre (Widerspruch). Hätte ich ein (festes!) [mm]x_0\in[a,b][/mm], für das [mm]|f(x_0)-f_n(x_0)|\ge\varepsilon_0[/mm] für alle [mm]n>N_0[/mm] erfüllt ist, wäre der Rest relativ leicht. Aber es will mir einfach nicht gelingen.
Ich denke man müsste da eine konvergente Teilfolge von [mm](x_n)[/mm] betrachten ([mm][a,b][/mm] ist ja kompakt) und dann zum einen die punktweise Konvergenz von [mm](f_n)[/mm] und die Stetigkeit der [mm]f_n[/mm] nutzen, aber ich krieg es nicht hin...
Hat vielleicht jemand von euch eine erleuchtende Idee?
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 Do 19.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Robert,
Edit: Oh, ich habe da etwas falsch gelesen, ich dachte, die Folge der stetigen [mm] $(f_n)_n$ [/mm] konvergiere monoton gegen $f$, also dass z.B., wenn die [mm] $f_n$ [/mm] monoton wachsend gegen $f$ konvergieren würden, dass dann also [mm] $f_n(x) \le f_{n+1}(x)$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gelten würde. Ich hoffe mal, dass der Beweis für meine fälschlich angenommene Aussage dann aber doch korrekt ist und vll. kann man den Beweis (zumindest teilweise?!) übertragen, wenn man die Voraussetzung hat, dass jedes [mm] $f_n$ [/mm] monoton auf $[a,b]$ ist... Sorry jedenfalls, ich hab' das nicht genau genug gelesen!
Idee zu Deiner Aufgabenstellung:
Schau' Dir die Gleichung bei [mm] $(\star\star)$ [/mm] an. O.B.d.A. seien alle [mm] $f_n$ [/mm] monoton wachsend auf $[a,b]$. Mach' Dir dann auch klar, dass Du die Folge [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] auch o.B.d.A. so wählen kannst, dass sie monoton gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert. Und dann brauchst Du sicher noch eine Aussage über das Monotonieverhalten von $f$, d.h., mache Dir Gedanken über das Monotonieverhalten der (punktweisen) Grenzfunktion $f$... Das müßte eigentlich analog klappen, wenn ich nichts übersehe...
Es kann sogar sein, dass Du ein paar Zwischenüberlegungen durchführen kannst, so dass mein Beweis dann im Endeffekt doch die Behauptung, die Du zeigen sollst, auch zeigt, also quasi als "Teilbeweis" Deiner Aufgabe benutzt werden kann... Naja, guck's Dir mal an, wenn nicht, vll. führt es Dich dann wenigstens auf den richtigen Weg oder liefert Dir ein paar Ideen für Deine Aufgabe... Ist wohl zu spät für mich ^^
> Sei [mm](f_n)_{n\in\IN} \subset C([a,b])[/mm] eine Folge monotoner
> Funktionen, die punktweise gegen [mm]f\in C([a,b])[/mm] konvergiert.
> Zeigen Sie, dass [mm](f_n)[/mm] gleichmäßig gegen [mm]f[/mm] konvergiert.
> Hallo,
>
> Mein Prof meinte, das soll man am Besten durch Widerspruch
> zeigen. Also nehmen wir mal an die Behauptung sei falsch.
> D.h.
>
> [mm]\exists\varepsilon_0>0:\forall n\in\IN:\exists x_n\in[a,b], m_n>n:|f(x_n)-f_{m_n}(x_n)|>\varepsilon_0[/mm]
>
> Ich will nun zeigen, dass dann [mm]f[/mm] nicht stetig wäre
> (Widerspruch). Hätte ich ein (festes!) [mm]x_0\in[a,b][/mm], für das
> [mm]|f(x_0)-f_n(x_0)|\ge\varepsilon_0[/mm] für alle [mm]n>N_0[/mm] erfüllt
> ist, wäre der Rest relativ leicht. Aber es will mir einfach
> nicht gelingen.
> Ich denke man müsste da eine konvergente Teilfolge von
> [mm](x_n)[/mm] betrachten ([mm][a,b][/mm] ist ja kompakt) und dann zum einen
> die punktweise Konvergenz von [mm](f_n)[/mm] und die Stetigkeit der
> [mm]f_n[/mm] nutzen, aber ich krieg es nicht hin...
>
> Hat vielleicht jemand von euch eine erleuchtende Idee?
>
> Gruß, Robert
okay, also: Angenommen, die Behauptung sei falsch. Dann gibt es ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$ derart, dass zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein [mm] $x_n \in [/mm] [a,b]$ und ein [mm] $m_n [/mm] > n$ so existieren, dass [mm] $|f(x_n)-f_{m_n}(x_n)| [/mm] > [mm] \varepsilon_0$ $(\star)$
[/mm]
Jetzt nehmen wir mal o.B.d.A. an, die Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] sei monoton wachsend. Dann kannst Du bei [mm] $(\star)$ [/mm] schonmal
[mm] $|f(x_n)-f_{m_n}(x_n)|=f(x_n)-f_{m_n}(x_n) [/mm] > [mm] \varepsilon_0$
[/mm]
schreiben.
(Ist Dir das klar? Falls nicht, beachte, dass nach unserer Annahme für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Folge [mm] $(f_k(x_n))_{k \in \IN}$ [/mm] monoton wachsend gegen [mm] $f(x_n)$ [/mm] ist und daraus auch [mm] $f(x_n) \ge f_k(x_n)$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] folgt, also auch, wenn man [mm] $k=m_n$ [/mm] setzt.)
Die Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Folge im Kompaktum $[a,b]$, wie Du schon richtig erkannt hast. Also gibt es eine Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_{k \in \IN}$, [/mm] die gegen ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ konvergiert, also:
[mm] $|x_{n_k}-x_0| \to [/mm] 0$ bei $k [mm] \to \infty$
[/mm]
Konsequenz für dieses [mm] $x_0$:
[/mm]
[mm] $(\star\star)$ [/mm] Für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $f(x_0)-f_{m_{n_k}}(x_0)$
[/mm]
[mm] $=\blue{f(x_0)-f(x_{n_k})}+f(x_{n_k})-f_{m_{n_k}}(x_{n_k})+\green{f_{m_{n_k}}(x_{n_k})-f_{m_{n_k}}(x_{0})}$
[/mm]
Der blaue Term strebt gegen $0$ wegen der Stetigkeit von $f$ und weil [mm] $x_{n_k} \to x_0$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$. [/mm] Insbesondere können wir also für genügend großes $k$ damit
[mm] $-\frac{\varepsilon_0}{4} [/mm] < [mm] \blue{f(x_0)-f(x_{n_k})} [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{4}$ [/mm] erzwingen.
Der mittlere (schwarze) Term ist $ > [mm] \varepsilon_0$
[/mm]
Zeigen wir noch, dass wir den grünen Term als Nullfolge erkennen:
Ich schreibe es mal - formal vll. verbesserungsbedürftig - grob so auf:
Für alle $k,l [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\green{f_{m_{n_k}}(x_{n_k})-f_{m_{n_k}}(x_{0})}=f_{m_{n_k}}(x_{n_k})-f_{m_{n_k}}(x_{n_{k_l}})+f_{m_{n_k}}(x_{n_{k_l}})-f_{m_{n_k}}(x_{0})$
[/mm]
Den Term [mm] $f_{m_{n_k}}(x_{n_{k_l}})-f_{m_{n_k}}(x_{0})$ [/mm] kriegen wir (im Betrag) wegen der Stetigkeit von [mm] $f_{m_{n_k}}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] klein.
(Denn: Jedes [mm] $f_n$ [/mm] ist stetig an [mm] $x_0$. [/mm] Ist also [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so existiert ein [mm] $\delta=\delta_n(x_0,\varepsilon) [/mm] > 0$ mit ... (das kannst Du sicher selbst ergänzen)
Für [mm] $f_{m_{n_k}}$ [/mm] wählen wir dann unser [mm] $\delta$ [/mm] als das [mm] $\delta_{m_{n_k}}(x_0,\varepsilon)$ [/mm] und dann [mm] $x_{m_{n_{k_l}}}$ [/mm] so, dass
(I) [mm] $\left|x_{m_{n_{k_l}}}-x_0\right|<\delta=\delta_{m_{n_k}}(x_0,\varepsilon)$.
[/mm]
(Dies ist eine von zwei Bedingungen für die Wahl des [mm] $x_{n_{k_l}}$. [/mm] Die zweite folgt gleich!))
Den Term [mm] $f_{m_{n_k}}(x_{n_k})-f_{m_{n_k}}(x_{n_{k_l}})$ [/mm] kriegen wir (im Betrag) aus folgendem Grund klein:
Für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $f_{m_{n_k}}$ [/mm] stetig auf dem Kompaktum $[a,b]$ und damit dort auch gleichmäßig stetig. Zu jedem $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt dann:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben, so existiert also ein [mm] $\delta\,'=\delta_{m_{n_k}}\,' [/mm] > 0$ so, dass [mm] $\forall [/mm] x,y$ mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] folgt ... (auch hier denke ich, dass Du das selbst ergänzen kannst)
Wir wählen nun zu gegebenen $k [mm] \in \IN$ [/mm] dann [mm] $x_{n_{k_l}}$ [/mm] so, dass [mm] $x_{n_{k_l}}$ [/mm] zum einen (I) gilt und zum anderen so, dass
(II) [mm] $\left|x_{n_{k_l}}-x_{n_k}\right| [/mm] < [mm] \delta\,'$ [/mm]
gilt.
Die Konsequenz ist:
[mm] $|f_{m_{n_k}}(x_{n_k})-f_{m_{n_k}}(x_{0})| \le \underbrace{|f_{m_{n_k}}(x_{n_k})-f_{m_{n_k}}(x_{n_{k_l}})|}_{< \varepsilon \mbox{ wegen (II)}}+\underbrace{|f_{m_{n_k}}(x_{n_{k_l}})-f_{m_{n_k}}(x_{0})|}_{ < \varepsilon \mbox{ wegen (I)}} [/mm] < [mm] 2*\varepsilon$
[/mm]
Damit:
[mm] $(\star_1)$ $|f(x_0)-f_{m_{n_k}}(x_0)|=f(x_0)-f_{m_{n_k}}(x_0) [/mm] > [mm] \frac{\varepsilon_0}{2}$, [/mm]
wenn wir oben $k$ so groß wählen, dass sich sowohl der blaue als auch der grüne Term im Intervall [mm] $\left(-\frac{\varepsilon_0}{4},\frac{\varepsilon_0}{4}\right)$ [/mm] befinden, also wenn $k$ so groß gewählt wird, dass sowohl
$- [mm] \frac{\varepsilon_0}{4}<\blue{f(x_0)-f(x_{n_k})} [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon_0}{4}$
[/mm]
als auch
$- [mm] \frac{\varepsilon_0}{4}<\green{f_{m_{n_k}}(x_{n_k})-f_{m_{n_k}}(x_{0})} [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon_0}{4}$
[/mm]
Was bedeutet [mm] $(\star_1)$ [/mm] für [mm] $f_{m_{n_k}}(x_0)$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$? [/mm] Wogegen sollte aber [mm] $f_{m_{n_k}}(x_0)$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] nach Voraussetzung konvergieren?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Do 19.06.2008 | | Autor: | pelzig |
Hey Marcel.
Erstmal Danke für die Riesenmühe. Mir ist auch gleich aufgefallen, dass du fälschlicherweise angenommen hast, die Funktionenfolge sei monoton (dann wäre das der ![[]](/images/popup.gif) Satz von Dini). Ganz so ausführlich (technisch) hättest du es auch nicht hinschreiben müssen, es wär mir lieber wenn du die eigentlichen Ideen das nächste mal etwas klarer herausarbeiten könntest.
Ich sehe leider nicht wie man den Beweis so einfach retten kann, jedoch habe ich bis zum Wochenende nicht so viel Zeit mich damit zu beschäftigen, also lass uns da später nochmal drüber schnacken. (vielleicht kann man es ja auch direkt beweisen?)
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Do 19.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Robert,
> Hey Marcel.
>
> Erstmal Danke für die Riesenmühe. Mir ist auch gleich
> aufgefallen, dass du fälschlicherweise angenommen hast, die
> Funktionenfolge sei monoton (dann wäre das der
> Satz von Dini).
> Ganz so ausführlich (technisch) hättest du es auch nicht
> hinschreiben müssen, es wär mir lieber wenn du die
> eigentlichen Ideen das nächste mal etwas klarer
> herausarbeiten könntest.
ja, das Problem ist, dass ich meist die Sachen während des Schreibens durchdenke. Das macht aber nichts, denn dann werde ich bei Dir das nächste Mal einfach das ganze für mich abtippen, das separat speichern (erstmal nur für mich) und danach dann die Grundideen herausfiltern, die ich Dir dann mitteilen werde.
Und auf Nachfragen Deinerseits kann ich das dann ja so nach und nach ergänzen, je nachdem, wie viele und welche Fragen Du stellst.
Aber Danke, mir war gar nicht mehr im Gedächtnis, dass diese (von mir bewiesene Aussage) den Namen "Satz von Dini" trägt. Ist nun abgespeichert 
> Ich sehe leider nicht wie man den Beweis so einfach retten
> kann, jedoch habe ich bis zum Wochenende nicht so viel Zeit
> mich damit zu beschäftigen, also lass uns da später nochmal
> drüber schnacken. (vielleicht kann man es ja auch direkt
> beweisen?)
So ganz sicher war/bin ich mir dabei ja auch noch nicht. Wenn man es nicht direkt irgendwie sehen kann, würde ich natürlich versuchen, aus der gegebenen Funktionenfolgen ein Hilfsfolge stetiger Funktionen zu basteln, die monoton gegen die punktweise Grenzfunktion [mm] $\black{f}$ [/mm] konvergiert.
(Und da ist schon ein Knackpunkt, ob sich so eine Folge i.a. überhaupt konstruieren läßt. Die einzelnen Funktionen der so konstruierten Funktionenfolge müssen ja auch so konstruiert werden, dass sie in einem gewissen (engen) Zusammenhang mit den Gliedern der Ausgangsfunktionenfolge steht, und da muss man sich schon überlegen, welcher Zusammenhang das eigentlich sein soll/könnte...)
Ob dieser Ansatz überhaupt ausbaufähig ist oder ob der Ansatz von vorneherein zum Scheitern verurteilt ist, weiß' ich gerade nicht. Aber nicht alle Ideen müssen ja zum Ziel führen, das ist ja im Leben oft so Und wenn man merkt, dass ein Weg vll. doch zielführend ist, aber das ganze dann doch eher zu kompliziert zu werden scheint, dann sollte man sich vll. doch bemühen, eine einfachere Alternative zu finden.
Naja, es wurde ja noch ein Tipp gegeben (siehe Merles Antwort). Übrigens kann man meine Antwort gerne auch als "fehlerhaft" deklarieren, denn bezogen auf die Aufgabe ist sie ja nicht richtig (auch, wenn ich das eh schon dazugeschrieben habe). Aber das ist natürlich Geschmackssache...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Do 19.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Mach' den Widerspruchsbeweis anders... zeige, dass dann die Monotonie verletzt ist.
Wähle diese Folge [mm] x_n [/mm] so wie du schon geschrieben hast. Diese konvergiert ja gegen ein x. Da f stetig ist, gibt es eine Umgebung um f(x) in der alle Funktionswerte von f einen Abstand kleiner [mm] e_0 [/mm] haben von f(x). Jetzt wählst du ein [mm] x_0, [/mm] welches in dieser Umgebung liegt. Da [mm] f_n [/mm] punktweise konvergiert existiert ein [mm] m_1, [/mm] so dass für alle m größer [mm] m_1 |f_m(x_0)-f(x_0)| [/mm] kleiner [mm] e_0 [/mm] gilt. Ausserdem gibt es ein [mm] m_2, [/mm] so dass für alle m größer [mm] m_2 |f_m(x)-f(x)| [/mm] ebenfalls kleiner [mm] e_0 [/mm] gilt. Nun gibt es aber zwischen [mm] x_0 [/mm] und x ein [mm] x_n [/mm] mit n größer [mm] m_1/m_2 [/mm] und ein [mm] m_{x_n}, [/mm] so dass [mm] |f_{m_{x_n}}(x_1)-f(x_1)| [/mm] größer [mm] e_0 [/mm] ist (das ist ja unsere falsche Annahme). Und das führt zum Widerspruch, da dann [mm] f_{m_{x_n}} [/mm] nicht mehr monoton ist.
Sorry, dass es so unleserlich/unübersichtlich geschrieben ist.
Ich seh grad.... n kleiner Fehler ist noch drin. Wir haben ja damit bloß den relativen Unterschied zu f gezeigt. Ist aber wohl kein Problem das abzuändern. Du musst das eine [mm] e_0 [/mm] dann einfach anders wählen. f nimmt ja Min/Max an, also wähle einfach [mm] e_0 [/mm] so, dass der relative Unterschied dann insgesamt zu einem absoluten wird.
Ja.. so in etwa irgendwie... wirst es schon hinkriegen.
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