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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 So 21.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich versteh nicht so ganz den Unterschied zwischen gleichmäßiger Konvergenz und punktweiser Konvergenz.
Wir haben gleichmäßige Konvergenz auf einem metrischen Raum X wie folgt definiert:
[mm] $f_n: [/mm] M [mm] \to [/mm] X$ konvergiert gleichmäßig gegen $f: M [mm] \to [/mm] X$, falls für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ein N existiert mit [mm] d_X(f_n(x),f(x))<\epsilon [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$, $x [mm] \in [/mm] M$
Das heißt doch, dass ab einem bestimmten n sich die Funktionen der Folge nicht mehr von der Grenzfunktion unterscheiden, oder?
So, wir hatten in der Vorlesung punktweise Konvergenz nicht, ich hab das zufällig bei Wikipedia gesehen.
Und wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist punktweise Konvergenz doch, wenn die Funktionswerte der Funktionen der Folge gegen den entsprechenden Funktionswert der Grenzfunktion konvergieren für alle Elemente des Definitionsbereichs.
Aber wenn nun alle Funktionswerte der Funktionen der Folge gegen alle entsprechenden Funktionswerte der Grenzfunktion konvergieren, konvergieren dann damit nicht die Funktionen der Folge auch komplett gegen die Grenzfunktion?
Wo ist da der Unterschied zwischen gleichmäßiger und punktweiser Konvergenz?
LG Nadine
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Hallo Nadine,
ich füg mal eine Kleinigkeit ein in deine Aussage, nämlich:
> Und wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist punktweise Konvergenz doch, wenn die Funktionswerte der Funktionen der Folge [red]an einer Stelle [mm] x_0[red] [/mm] gegen den entsprechenden Funktionswert der Grenzfunktion konvergieren für alle Elemente [mm] [red]x_0[/red] [/mm] des Definitionsbereichs.
Korrekt.
Der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz ist wirklich nur ein kleiner, aber ein bedeutender. Nehmen wir deine gefundene Definition und fügen wiederum etwas hinzu:
$ [mm] f_n: [/mm] M [mm] \to [/mm] X $ konvergiert gleichmäßig gegen $ f: M [mm] \to [/mm] X $, falls für alle $ [mm] \epsilon>0 [/mm] $ ein [mm] N[red]($\varepsilon$)[/red] [/mm] existiert mit $ [mm] d_X(f_n(x),f(x))<\epsilon [/mm] $ für alle $ n [mm] \ge [/mm] N $, $ x [mm] \in [/mm] M $
Demgegenüber die Punktweise Konvergenz:
$ [mm] f_n: [/mm] M [mm] \to [/mm] X $ konvergiert punktweise gegen $ f: M [mm] \to [/mm] X $, falls für alle $ [mm] \epsilon>0 [/mm] $ ein [mm] N[red]($\varepsilon,x$)[/red] [/mm] existiert mit $ [mm] d_X(f_n(x),f(x))<\epsilon [/mm] $ für alle $ n [mm] \ge [/mm] N $, $ x [mm] \in [/mm] M $
D.h. der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz besteht darin, dass die Wahl von N bei punktweiser Konvergenz von [mm] \varepsilon [/mm] UND der Stelle [mm] x_0 [/mm] abhängt, an der wir die Konvergenz betrachten.
Bei gleichmäßiger Konvergenz darf die Wahl von N nicht mehr von x abhängen, sondern nur noch von dem gegebenen [mm] \varepsilon.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Do 25.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> D.h. der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger
> Konvergenz besteht darin, dass die Wahl von N bei punktweiser
> Konvergenz von $ [mm] \varepsilon [/mm] $ UND der Stelle $ [mm] x_0 [/mm] $ abhängt, an der
> wir die Konvergenz betrachten.
Heißt das, bei gleichmäßiger Konvergenz, dass ich zu jedem [mm] \epsilon [/mm] , egal ob groß oder ganz klein, immer einen Index N finde, so dass ab dem dann sich die n-te Folgenfunktion ($n [mm] \ge [/mm] N$) nur noch um [mm] \epsilon [/mm] von der Grenzfunktion unterscheidet, dass also, da sich ja die komplette Funktion nur um [mm] \epsilon [/mm] von der Grenzfunktion unterscheidet, ALLE Funktionswerte der Folgenfunktion nur um [mm] \epsilon [/mm] von den Funktionswerten der Grenzfunktion entfernt sind, für alle Funktionswerte.
Und bei punktweiser Konvergenz kann es für jede Wahl von [mm] \epsilon [/mm] für jedes x ein verschiedenes N geben, ab dem der Abstand zwischen dem Funktionswert der Folgenfunktion und dem der Grenzfunktion kleiner ist als [mm] \epsilon?
[/mm]
Ist dann eine Funktion, die gleichmäßig stetig ist, auf jeden Fall auch punktweise stetig, und zwar so, dass ich für jedes x das gleiche N habe?
> Bei gleichmäßiger Konvergenz darf die Wahl von N nicht mehr von x
> abhängen, sondern nur noch von dem gegebenen $ [mm] \varepsilon. [/mm] $
Wie/Wo genau kann ich das (bzw. das was du in meinen Definition rot hinzugefüht hast) in den Definitionen rauslesen?
LG, Nadine
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Hiho,
> Heißt das, bei gleichmäßiger Konvergenz, dass ich zu
> jedem [mm]\epsilon[/mm] , egal ob groß oder ganz klein, immer einen
> Index N finde, so dass ab dem dann sich die n-te
> Folgenfunktion ([mm]n \ge N[/mm]) nur noch um [mm]\epsilon[/mm] von der
> Grenzfunktion unterscheidet, dass also, da sich ja die
> komplette Funktion nur um [mm]\epsilon[/mm] von der Grenzfunktion
> unterscheidet, ALLE Funktionswerte der Folgenfunktion nur
> um [mm]\epsilon[/mm] von den Funktionswerten der Grenzfunktion
> entfernt sind, für alle Funktionswerte.
Korrekt, das kann man auch schreiben als [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty [/mm] < [mm] \varepsilon$, [/mm] wenn du die Supremumsnorm schon hattest.
> Und bei punktweiser Konvergenz kann es für jede Wahl von
> [mm]\epsilon[/mm] für jedes x ein verschiedenes N geben, ab dem der
> Abstand zwischen dem Funktionswert der Folgenfunktion und
> dem der Grenzfunktion kleiner ist als [mm]\epsilon?[/mm]
Korrekt
> Ist dann eine Funktion, die gleichmäßig stetig ist, auf
> jeden Fall auch punktweise stetig, und zwar so, dass ich
> für jedes x das gleiche N habe?
Also wenn du statt stetig konvergent meinst, dann passt es 
Ja, die glm. Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz, nur nicht umgekehrt.
Aber das nur am Rande: Bei glm. Stetigkeit und normaler Stetigkeit ist es sogar dasselbe wie bei der Konvergenz. Nur da halt aufs [mm] \delta [/mm] bezogen, ob die Wahl von [mm] \delta [/mm] von der Stelle x abhängt oder nicht.
> > Bei gleichmäßiger Konvergenz darf die Wahl von N nicht
> mehr von x
> > abhängen, sondern nur noch von dem gegebenen [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Wie/Wo genau kann ich das (bzw. das was du in meinen
> Definition rot hinzugefüht hast) in den Definitionen
> rauslesen?
Bei deiner Definition von gleichmäßiger Stetigkeit steht das doch so drin:
Für alle [mm] \varepsilon [/mm] existiert ein N........ und ganz hinten steht: Für $x [mm] \in [/mm] M$.
D.h. du schaust ERST ob ein N existiert, das soll dann für alle x gelten.
Bei der Punktweisen Konvergenz lautet die Definition:
Für alle [mm] \varepsilon [/mm] und für alle x existiert ein N..... d.h. sei erst [mm] \varepsilon [/mm] beliebig aber fest, dann x beliebig aber fest und DANN wählen wir uns N....
Bei der glm. Konvergenz wählen wir unser N ERST und dann soll es für ALLE x gelten.
Unterschied klar?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 25.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > Ist dann eine Funktion, die gleichmäßig stetig ist, auf
> > jeden Fall auch punktweise stetig, und zwar so, dass ich
> > für jedes x das gleiche N habe?
>
> Also wenn du statt stetig konvergent meinst, dann passt es
>
Ups - Ja, meinte ich 
> Unterschied klar?
Ja
Noch kurz eine Frage zur gleichmäßigen Konvergenz:
Müssen die Funktionen alle aus einer Richung (also alle von oben oder alle von unten) gegen die Grenzfunktion streben, oder ist das egal?
Weil bei Wiki war das Beispiel, dass die Funktionsfolge [mm] (f_n:(0,\bruch{1}{2}]\to\IR)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] f_n(x)=x^n [/mm] auf ihrem Definitionsbereich gleichmäßig gegen [mm] f:(0,\bruch{1}{2}]\to\IR) [/mm] mit $f(x)=0$ konvergiert.
Ich hab mir mal die ersten fünf [mm] x^n [/mm] gezeichnet, also rechts von 0 laufen ja alle Funktionsäste von oben gegen die Nullfunktion.
Aber was ist mit den Funktionsästen, die links von der Null liegen? Die gehen ja für unendlich großes n auch gegen die Nullfunktion, nur halt immer abwechselnd, einer von oben, einer von unten, aber im ganzen kommen sie auch immer näher an die 0. Der Abstand ändert sich dadurch ja nicht im Vergleich zu den Ästen, die rechts von der Null liegen, er ist nur negativ, aber das ist ja eigentlich egal, da ich ja den Betrag der Differenz betrachte.
Und warum ist der Nullpunkt außen vorgelassen?
Also ich würde sagen, dass die Funktionsfolge sogar auf dem Intervall [mm] [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}] [/mm] gleichmäßig konvergiert.
Stimmt das?
LG Nadine
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Hiho,
> Noch kurz eine Frage zur gleichmäßigen Konvergenz:
>
> Müssen die Funktionen alle aus einer Richung (also alle
> von oben oder alle von unten) gegen die Grenzfunktion
> streben, oder ist das egal?
Nein das ist egal, du beantwortest dir das doch sogar selbst mit:
> aber das ist ja eigentlich
> egal, da ich ja den Betrag der Differenz betrachte.
> Und warum ist der Nullpunkt außen vorgelassen?
Nur so halt
> Also ich würde sagen, dass die Funktionsfolge sogar auf
> dem Intervall [mm][-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}][/mm] gleichmäßig
> konvergiert.
Korrekt.
Die Funktion konvergiert sogar auf jedem Intervall $[-q,q]$ mit $0 [mm] \le [/mm] q < 1$ gleichmäßig.
Versuch mal [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)|$ in obigem Beispiel so abzuschätzen, dass es nur noch von n abhängt und NICHT mehr von x.
Denn dann hast du ja glm. Konvergenz gezeigt.
Danach: Begründe mal als Übung, wieso KEINE glm. Konvergenz auf $[-1,1]$ bzw. $(-1,1)$ vorliegt.
MFG,
Gono.
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