Glm Konvergenz von Fkt-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Do 26.04.2007 | | Autor: | jtb |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktionenfolge [mm] f_{n}(x):=\wurzel{\bruch{1}{n^{2}}+|x|^{2}} [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz in K (K=Banachraum) |
Punktweise Konvergenz ist klar. Und dass sie - rein anschaulich - auch gleichmäßig konvergent ist gegen f(x)=|x| ebenfalls. Aber wie zeige ich das weniger anschaulich und dafür mathematisch ? *g* Läuft ja dann wohl auf nen Epsilon-n-Null-Beweis raus, aber weiter als bis zu
[mm] |\wurzel{\bruch{1}{n^{2}}+|x|^{2}}-|x||
[/mm]
komme ich irgendwie nicht :-( Hat da evtl. jemand einen Tipp für mich ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Do 26.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
deine Aufgabe ist es den Ausdruck abzuschätzen, also:
sup [mm] \wurzel{\bruch{1}{n²}+IxI²}-IxI
[/mm]
=sup [mm] \bruch{\bruch{1}{n²}+IxI²-IxI²}{\wurzel{\bruch{1}{n²}+IxI²}+IxI}
[/mm]
Ich habe einfach 3. binomische Formel zum erweitern benutzt. Der Nenner ist immer größer oder gleich 1, also kannst du das ganze durch 1/n² abschätzten, was gegen 0 geht. Es folgt glm. Konvergenz.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Do 26.04.2007 | | Autor: | jtb |
Vielen Dank schonmal für deine Antwort ! Aber weiterhelfen tut mir das irgendwie grade nicht. Mit deiner Umformung wird der Zähler zu [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] und der Nenner bleibt erstmal der Wurzeltherm nur halt mit dem plus.
Aber wieso kann ich jetzt das GANZE als [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] abschätzen ?
/EDIT
Okay, ich glaub ich habs doch geblickt. Am Ende muss dann sowas stehen wie:
sup [mm] \bruch{1}{n^{2}} \bruch{1}{\sqrt{\bruch{1}{n^{2}}+|x|^{2}}+|x|^{2}}<\varepsilon
[/mm]
weil das ganze ne Nullfolge ist, ne ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Do 26.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn wir den letzten Term abschätzten wollen, dann wird der Term am größten (wir wollen ja das sup), wenn der Nenner am kleinsten wird. Das letzte +IxI² ist größer oder gleich 0 und vergrößert nur den Nenner und verkleinert damit den Ausdruck, also können wir es weglassen und erhalten einen Ausfruck der größer oder gleich dem alten ist. Für das +IxI² gilt doch das gleiche. Stehen bleibt [mm] \wurzel{\bruch{1}{n²}} [/mm] im Nenner, also 1/n und im Zähler steht 1/n². Also kürzt sich beides zu 1/n.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Do 26.04.2007 | | Autor: | jtb |
Okay, ich glaub jetzt hab ichs kapiert... klingt ja eigentlich logisch  Vielen Dank für deine Hilfe !
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