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Hallo zusammen
Muss folgende Aufgabe lösen:
Untersuche die Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR, f(x,y)=(4x^2+y^2)*e^{-x^2-4y^2} [/mm]
auf lokale Extrema und Sattelpunkte. Sind die Extrema isoliert? Sind sie global?
So nun habe ich als erstes die krit. Punkte berechnet:
(0,0), [mm] (0,\pm [/mm] 0.5), [mm] (\pm [/mm] 1,0)
Dann habe ich via Hessematrix herausgefunden, dass
(0,0) ein lokales Minimum ist,
[mm] (0,\pm [/mm] 0.5) Sattelpunkte sind &
[mm] (\pm [/mm] 1,0) lokale Maxima sind.
Da ich in meinen Vorlesungsunterlagen nichts über isoliertes Extrema gefunden habe, habe ich im Internet nachgeschaut und bin dort auf folgendes gestossen:
"Isoliertes lokales Maximum [mm] \gdw [/mm] Hessematrix negativ definit"
"Isoliertes lokales Minimum [mm] \gdw [/mm] Hessematrix postiv definit"
Da ich die Minima und Maxima oben bereits via "Definitheit" der Hessematrix herausgefunden habe, kann ich ja sagen, dass alle Extrema isoliert sind.
Stimmt das?
Wie ich nun herausfinde/zeige, dass die Extrema global oder nicht global sind, weiss ich nicht!
Kann mir da jemand helfen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mo 28.04.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen
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> Muss folgende Aufgabe lösen:
> Untersuche die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=(4x^2+y^2)*e^{-x^2-4y^2}[/mm]
> auf lokale Extrema und Sattelpunkte. Sind die Extrema
> isoliert? Sind sie global?
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> So nun habe ich als erstes die krit. Punkte berechnet:
> (0,0), [mm](0,\pm[/mm] 0.5), [mm](\pm[/mm] 1,0)
> Dann habe ich via Hessematrix herausgefunden, dass
> (0,0) ein lokales Minimum ist,
> [mm](0,\pm[/mm] 0.5) Sattelpunkte sind &
> [mm](\pm[/mm] 1,0) lokale Maxima sind.
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> Da ich in meinen Vorlesungsunterlagen nichts über
> isoliertes Extrema gefunden habe, habe ich im Internet
> nachgeschaut und bin dort auf folgendes gestossen:
> "Isoliertes lokales Maximum [mm]\gdw[/mm] Hessematrix negativ
> definit"
> "Isoliertes lokales Minimum [mm]\gdw[/mm] Hessematrix postiv
> definit"
> Da ich die Minima und Maxima oben bereits via
> "Definitheit" der Hessematrix herausgefunden habe, kann ich
> ja sagen, dass alle Extrema isoliert sind.
> Stimmt das?
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> Wie ich nun herausfinde/zeige, dass die Extrema global oder
> nicht global sind, weiss ich nicht!
Hallo,
berechne von allen lokalen Extremstellen die Funktionswerte.
Gibt es da einen allergrößten/allerkleinsten Wert?
Gruß Abakus
> Kann mir da jemand helfen?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
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Ah, ok. Dachte es wäre komplizierter....
Es wäre ja dann:
f(0,0)=0
[mm] f(\pm1,0)=\bruch{4}{e}
[/mm]
Somit wäre also (0,0) ein globales Minimum und [mm] (\pm1,0) [/mm] wären globale Maxima, oder?
Und wie ist das mit den isolierten Extrema, stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mo 28.04.2014 | | Autor: | abakus |
> Ah, ok. Dachte es wäre komplizierter....
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> Es wäre ja dann:
> f(0,0)=0
> [mm]f(\pm1,0)=\bruch{4}{e}[/mm]
> Somit wäre also (0,0) ein globales Minimum und [mm](\pm1,0)[/mm]
> wären globale Maxima, oder?
Hallo,
du gehst zu oberflächlich mit den Begriffen um.
(0,0) ist kein Minimimum, und (1,0) ist kein Maximum.
Richtig ist: AN DER STELLE (0,0) ist ein Minimum, es beträgt 0.
An der Stelle (1,0) und auch bei (-1,0) ist jeweils ein Maximum, dieses Maximum ist 4/e.
Gruß Abakus
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> Und wie ist das mit den isolierten Extrema, stimmt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Ja, du hast recht! Auf meinen Abgabeblättern steht es natürlich so, wie du es geschrieben hast! :)
Und was ist mit den isolierten Extrema?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Mo 28.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
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> Muss folgende Aufgabe lösen:
> Untersuche die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=(4x^2+y^2)*e^{-x^2-4y^2}[/mm]
> auf lokale Extrema und Sattelpunkte. Sind die Extrema
> isoliert? Sind sie global?
>
> So nun habe ich als erstes die krit. Punkte berechnet:
> (0,0), [mm](0,\pm[/mm] 0.5), [mm](\pm[/mm] 1,0)
> Dann habe ich via Hessematrix herausgefunden, dass
> (0,0) ein lokales Minimum ist,
> [mm](0,\pm[/mm] 0.5) Sattelpunkte sind &
> [mm](\pm[/mm] 1,0) lokale Maxima sind.
>
> Da ich in meinen Vorlesungsunterlagen nichts über
> isoliertes Extrema gefunden habe, habe ich im Internet
> nachgeschaut und bin dort auf folgendes gestossen:
> "Isoliertes lokales Maximum [mm]\gdw[/mm] Hessematrix negativ
> definit"
> "Isoliertes lokales Minimum [mm]\gdw[/mm] Hessematrix postiv
> definit"
> Da ich die Minima und Maxima oben bereits via
> "Definitheit" der Hessematrix herausgefunden habe, kann ich
> ja sagen, dass alle Extrema isoliert sind.
> Stimmt das?
Ja
>
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> Wie ich nun herausfinde/zeige, dass die Extrema global oder
> nicht global sind, weiss ich nicht!
> Kann mir da jemand helfen?
Ja.
In (0,0) liegt ein globales Minimum vor, da f [mm] \ge [/mm] 0 auf [mm] \IR^2 [/mm] ist und f(0,0)=0 ist.
Zu $ [mm] (\pm [/mm] $ 1,0):
Es ist [mm] f(\pm [/mm] 1,0)=4/e. Weiter haben wir
f(x,y) [mm] \to [/mm] 0 für $||(x,y)|| [mm] \to \infty$ [/mm]
( wobei ich mit ||*|| irgendeine Norm auf [mm] \IR^2 [/mm] bez., welche ist vollkommen schnuppe).
Es folgt:
(1) es gibt ein r>1 mit f(x,y) <4/e für alle (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] mit $||(x,y)|| [mm] \ge [/mm] r$
Sei [mm] K:=\{(x,y) \in \IR^2: ||(x,y)|| \le r\}. [/mm] K ist kompakt, f ist auf K stetig, also ex. ein [mm] x_0 \in [/mm] K mit
f(x,y) [mm] \le f(x_0) [/mm] für alle (x,y) [mm] \in [/mm] K
Wegen ( [mm] \pm [/mm] 1,0) [mm] \in [/mm] K ist
(2) [mm] f(x_0) \ge [/mm] 4/e.
Damit ist [mm] x_0 \in K^{\circ}
[/mm]
[mm] K^{\circ} [/mm] ist offen und f hat in [mm] x_0 [/mm] ein Extremum, also ist [mm] x_0 [/mm] ein kritischer Punkt von f. Wegen (2) ist [mm] x_0 \ne [/mm] (0,0).
Fazit: [mm] x_0 \in \{(1,0), (-1,0) \}
[/mm]
Wegen (1) hat f in (1,0) und (-1,0) jeweils ein globales Maximum.
FRED
P.S. durch einen Vergleich der Funktionswerte, wie Abakus es vorgeschlagen hat, kommt man nicht zum Ziel.
Man sollte schon begründen, warum f keine Funktionswerte > 4/e annehmen kann.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo fred
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Kannst du mir noch erklären, wieso es nicht reicht nur die Funktionswerte zu vergleichen? Denn es ist doch so:
Wenn ich die lokalen Extrema gefunden habe, dann ist es doch klar, dass f nicht grösser als 4/e werden kann, sonst wäre dies ja auch ein lokales Extrema, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 28.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine flt kann doch für x gegen + oder [mm] -\infty [/mm] gegen einen großen wert oder gar [mm] \infty [/mm] laufen, auch wenn sie lokale Min und max hat, z.Bso haben die meisten polynome 3ten Grades ein lokales Min und ein lokales max, gehen danach aber nach [mm] +\infty [/mm] und - [mm] \infty [/mm]
Beispiel
[mm] f(x)=2x^3-3x^2 [/mm] Minimum bei x=1 y=-1 , Max bei x=0, y=0
beide sind nur lokal
Gruss leduart
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