Globale und lokale Extrem von < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Zum Warmwerden: Bestimen Sie alle globalen und lokalen Extrema der Funktion
f: [mm] \IR^2->\IR
[/mm]
[mm] (x,y)^T-> (2x^2+1)(y^2+1)
[/mm]
in der "zuläsigen Menge" [mm] Z={(x,y)^T\varepsilon \IR^2| x^2+y^2<1}
[/mm]
b) Bestimen Sie die Punkte im [mm] \IR^2, [/mm] die in der durch [mm] y=x^2 [/mm] gegebenen Menge liegen und deren Abstand zum Punkt (0,1) dabei minimal ist.
Hinweis: Die Funktionen f(x) und [mm] f(x)^2 [/mm] (f ist eine beliebige Funktion) haben die selben Extremstelen. |
Aufgabenteil a) habe ich gelöst
[mm] p_{0}(0,0) [/mm] ist lokales und globales Minimum mit Zielfunktionswert 1 und [mm] p_{5}(\wurzel{3}/2, [/mm] 1/2), [mm] p_{6}(-\wurzel{3}/2,1/2), p_{7}(\wurzel{3}/2, [/mm] -1/2) und [mm] p_{8}(-\wurzel{3}/2,-1/2) [/mm] sind globale Maxima mit Zielfunktionswert 25/8
aber bei Aufgabenteil b) stehe ich auf dem Schlauch.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Mi 20.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
berechne den Abstand a eines Punktes (u,f(u)) von P
der Hinweis sagt, du kannst statt a [mm] a^2 [/mm] minimieren.
Gruss leduart
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Sorry, aber ich steh immer noch auf dem Schlauch????
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Sorry, aber ich steh immer noch auf dem Schlauch????
Hm. Diese Aussage gibt nicht gerade gute Anahltspunkte dafür, wie man Dir helfen kann...
leduart hatte Dir ja ein schon etwas gesagt. Was hast Du damit gemacht? Wo liegt das Problem?
Schauen wir nochmal die Aufgabe an:
"b) Bestimmen Sie die Punkte im $ [mm] \IR^2, [/mm] $ die in der durch $ [mm] y=x^2 [/mm] $ gegebenen Menge liegen und deren Abstand zum Punkt P(0,1) dabei minimal ist. "
Kleine Vorübung:
welchen Abstand [mm] d_P [/mm] hat der Punkt Q(4|5) zum Punkt P?
[mm] d_P(4,5)=...
[/mm]
Welchen Abstand d hat der Punkt R(-2|5) zum Punkt P?
[mm] d_P(-2,5)=...
[/mm]
Welchen Abstand d hat der Punkt Q(x|y) zum Punkt P?
[mm] d_P(x,y)=...
[/mm]
Wenn Du so weit bist, hast Du schonmal die zu minimierende Funktion aufgestellt.
An dieser Stelle hilft einem der Tip beim Arbeitsparen. Er sagt: statt [mm] d_P [/mm] kann man auch die Funktion [mm] D:=d_P^2 [/mm] untersuchen. Das Ableiten wird dann sicher bequemer.
Nun ist die Frage aber nicht, welcher Punkt des [mm] \IR^2 [/mm] den kleinsten Abstand zu P hat. (Diese Frage wäre ja auch leicht zu beantworten.)
Sondern es gibt eine Nebenbedingung: Du sollst ganz bestimmte Punkte betrachten. Welche?
LG Angela
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Hi,
die allgemeine Abstandsformel lautet: [mm] d=\wurzel{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} [/mm] oder [mm] d^2=(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2
[/mm]
Die Ableitungen sind:
[mm] d_{x}=2(x_{2}-x_{1})
[/mm]
[mm] d_{y}=2(y_{2}-y_{1})
[/mm]
[mm] d_{xx}=2
[/mm]
[mm] d_{yy}=2
[/mm]
[mm] d_{xy}=0
[/mm]
[mm] d_{yx}=0
[/mm]
Ist das richtig?
Und wie schränke ich das auf die angegeben Menge ein?
Dank schon jetzt!
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> Hi,
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> die allgemeine Abstandsformel lautet:
> [mm]d=\wurzel{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}[/mm]
Hallo,
das ist der Abstand zweier Punkte [mm] P_1(x_1|y_1) [/mm] und [mm] P_2(x_2|y_2).
[/mm]
Wie lautet nun die Funktion [mm] d_P(x,y), [/mm] die den Abstand eines beliebigen Punktes (x|y) vom Punkt P(0|1) beschreibt? Bzw. das Quadrat [mm] D(x,y):=(d_p(x,y))^2 [/mm] dieser Funktion?
> oder
> [mm]d^2=(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2[/mm]
>
> Die Ableitungen sind:
> [mm]d_{x}=2(x_{2}-x_{1})[/mm]
> [mm]d_{y}=2(y_{2}-y_{1})[/mm]
> [mm]d_{xx}=2[/mm]
> [mm]d_{yy}=2[/mm]
> [mm]d_{xy}=0[/mm]
> [mm]d_{yx}=0[/mm]
> Ist das richtig?
>
Ich glaube, es ist richtig gemeint.
> Und wie schränke ich das auf die angegeben Menge ein?
Sollt Ihr vielleicht die Methode mit den Lagrangemultiplikatoren üben?
Die NB lautet [mm] y=x^2 [/mm] <==> [mm] x^2-y=0.
[/mm]
Dann wäre hier die Funktion [mm] L(x,y,\lambda):=D(x,y)+\lambda(x^2-y) [/mm] zu untersuchen.
Du kannst aber auch in D(x,y) mithilfe der NB das x eliminieren und hast dann eine ganz normale Extremwertberechnung einer Funktion, die von einer Variablen abhängt.
LG Angela
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bei der Funktion [mm] D_{p} [/mm] liegt mein Problem. Wie lautet sie?
Ich dachte [mm] d_{p}(x,y)=\wurzel{(x_{2}-0)^2+(y_{2}-1)^2} [/mm] lautet die Funktion.
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> bei der Funktion [mm]D_{p}[/mm] liegt mein Problem. Wie lautet sie?
> Ich dachte [mm]d_{p}(x,y)=\wurzel{(x_{2}-0)^2+(y_{2}-1)^2}[/mm]
> lautet die Funktion.
Hallo,
was sollen denn die Indizes?
[mm] $d_{p}(x,y)=\wurzel{(x-0)^2+(y-1)^2}$=\wurzel{(x^2+(y-1)^2} [/mm] wäre richtig.
Statt dieser Funktion kann man ebenso die Funktion [mm] D(x,y):=x^2+(y-1)^2 [/mm] optimieren unter der gegebenen NB.
LG Angela
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