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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Goniometrische gleichungen
Goniometrische gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Goniometrische gleichungen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Di 22.02.2005
Autor: timbojones

Hallo, bräuchte eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

[mm] (3-sin^2alpha)^2 [/mm] = 15

Hätte glaub ich jetzt 2 möglichkeiten das auszurechnen.

1. Wurzel ziehen oder 2. Binomische formel anwenden.

weiß allerdings nicht wie ich mit [mm] sinus^2 [/mm] und [mm] cos^2 [/mm] rechne steht fast nichts in der formelsamlung.

DANKE IM VORRAUS!

        
Bezug
Goniometrische gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Di 22.02.2005
Autor: cremchen

Halli hallo!

> [mm](3-sin^2alpha)^2[/mm] = 15
>
> Hätte glaub ich jetzt 2 möglichkeiten das auszurechnen.
>  
> 1. Wurzel ziehen oder 2. Binomische formel anwenden.

Also hier würde ich den zweiten Weg gehen, also:
[mm] 9-6sin^2(\alpha)+sin^4(\alpha)=15 [/mm]
und damit
[mm] sin^4(\alpha)-6sin^2(\alpha)-6=0 [/mm]
Dann kannst du [mm] x=sin^2(\alpha) [/mm] setzen und erhälst
[mm] x^2-6x-6=0 [/mm]
Als Lösungen erhalten wir [mm] x_{1,2}=3\pm\wurzel{9+6}=3\pm\wurzel{15}! [/mm]
Dann musst du noch rücksubstituieren: [mm] x=sin^2(\alpha) \gdw \pm\wurzel{x}=sin(\alpha) [/mm]
also gilt [mm] \alpha={arcsin}(x)=arcsin(\pm\wurzel{3\pm\wurzel{15}}) [/mm]
Du erhälst also vier Lösungen. Die berechnest du einfach mit dem Taschenrechner!

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
Liebe Grüße
Ulrike

Bezug
                
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Goniometrische gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:31 Di 22.02.2005
Autor: oliver.schmidt

cremchen, soweit bin ich auch gekommen: aber die Wurzel ist unlösbar !!

muss auch so sein, weil [mm] sin^2 \alpha [/mm] <=1 und somit [mm] 3-sin^2\alpha<3 [/mm] ist und quadriert nie 15 werden kann

übrigens geht auch der 1.weg, sogar schneller

[mm] 3-sin^2\alpha= \pm\wurzel{15} [/mm]

--> [mm] sin^2\alpha=\pm\wurzel{15}+3 [/mm]



[mm] -->sin\alpha =\pm\wurzel{3\pm\wurzel{15}} [/mm]

diese Wurzel hat keine (reelle) Lösung

Gruß
OLIVER


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Goniometrische gleichungen: hmmmm
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Di 22.02.2005
Autor: timbojones

Für mich wäre das mit der leeren menge auch einleuchtender, allerdings kann das auch nichtrichtig sein, weil wir noch eine 2. aufgabe haben bei der auch leere menge rauskommt:

[mm] 9-16*sin^2 [/mm] alpha =5

sin alpha = 3,46

demnach wäre ja auch keine lösung möglich. Aber 2 aufgaben ohne lösung?

Gruß Timbo

Bezug
                                
Bezug
Goniometrische gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Di 22.02.2005
Autor: oliver.schmidt


> Für mich wäre das mit der leeren menge auch einleuchtender,
> allerdings kann das auch nichtrichtig sein, weil wir noch
> eine 2. aufgabe haben bei der auch leere menge rauskommt:
>  
> [mm]9-16*sin^2[/mm] alpha =5
>  
> sin alpha = 3,46

da hast du dich verrechnet !

9-16 [mm] sin^2\alpha=5 [/mm]

16 [mm] sin^2\alpha=4 [/mm]
[mm] sin^2\alpha=\bruch{1}{4} [/mm]

......das lässt sich lösen !

> demnach wäre ja auch keine lösung möglich. Aber 2 aufgaben
> ohne lösung?
>  
> Gruß Timbo
>  

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Bezug
Goniometrische gleichungen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Di 22.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Timbo!

Also die leere Menge bei Deiner 1. Aufgabe ist richtig ...


> [mm]9-16*sin^2[/mm] alpha =5
> sin alpha = 3,46

[notok] Hier hast Du Dich verrechnet ...

Ich erhalte hier nach kurzem Umformen:
[mm] $\sin^2(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{9-5}{16} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] \ = \ 0,25$


Gruß
Loddar


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