Grad 1 eines Polynoms < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Fr 08.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich stelle hier eine Frage, die ich schon in einem anderen Forum gestellt habe. Die Frage ist, wieso gilt, dass für ein komplexes Polynom f(z) vom Grade [mm] $n\geq [/mm] 1$ - welches als biholomorph vorausgesetzt wurde - gilt, dass $f(z)-c=0, c [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] (folgt wegen des Fundamentalsatzes) impliziert:
Fast jeder Wert c wird von f n-mal angenommen.
Es wurde mir jetzt in dem anderen Forum gesagt, dass es so sei, dass das für fast alle c gelte.
Meine Frage ist jetzt, warum für fast alle, warum nur für endlich viele nicht?
Ich stelle die Frage hier, da sie offenbar als zu elementar erachtet wurde und mir irgendwann nicht mehr weitergeholfen wurde, ich hoffe, dass das hier anders ist, weil ich wirklich keine Ahnung habe, warum das gilt.
Viele Grüße,
Reynir.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=111117&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Fr 08.01.2016 | | Autor: | Marc |
Hallo Reynir,
> Hi,
> ich stelle hier eine Frage, die ich schon in einem anderen
> Forum gestellt habe. Die Frage ist, wieso gilt, dass für
> ein komplexes Polynom f(z) vom Grade [mm]n\geq 1[/mm] - welches als
> biholomorph vorausgesetzt wurde - gilt, dass [mm]f(z)-c=0, c \in \mathbb{C}[/mm]
> (folgt wegen des Fundamentalsatzes) impliziert:
> Fast jeder Wert c wird von f n-mal angenommen.
> Es wurde mir jetzt in dem anderen Forum gesagt, dass es so
> sei, dass das für fast alle c gelte.
> Meine Frage ist jetzt, warum für fast alle, warum nur
> für endlich viele nicht?
Die endlich vielen Ausnahmen sind genau die mehrfachen Nullstellen von $f(z)-c$.
Zum Beispiel [mm] $f(z)=z^2$
[/mm]
Für $c=0$ gilt: $f(z)-c=0$ hat eine doppelte Nullstelle, der Wert $c$ wird also von $f$ nur einmal angenommen.
Für [mm] $c\not=0$ [/mm] gilt: $f(z)-c=0$ hat zwei verschiedene/einfache Nullstellen, der Wert $c$ wird also von $f$ zwei Mal angenommen.
Fast jeder Wert (nämlich bis auf die Ausnahme $c=0$) wird von $f$ n-mal angenommen.
Viele Grüße
Marc
> http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=111117&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F
Dieser Link funktioniert bei mir nicht..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Sa 09.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
das Beispiel verstehe bis auf einen Punkt. Klar, dass es für 0 eine mehrfache Nullstelle hat, aber wieso sollte dieser Fall nicht auftreten, wenn [mm] $c\neq [/mm] 0$ ist? Was wäre da der Ansatz, weil ich dachte das könnte man dann über den Ansatz [mm] $c=a_0 [/mm] $ und $ [mm] c\neq [/mm] 0$ auf ein Polynom [mm] $f(z)=\sum_{k=0}^n a_n z^n$ [/mm] verallgemeinern.
Viele Grüße,
Reynir
Zudem Link: Ich hatte den direkt aus der Adresszeile kopiert, jetzt sollte es aber gehen: ![[]](/images/popup.gif)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 So 10.01.2016 | | Autor: | Marc |
Hallo Reynir,
> das Beispiel verstehe bis auf einen Punkt. Klar, dass es
> für 0 eine mehrfache Nullstelle hat, aber wieso sollte
> dieser Fall nicht auftreten, wenn [mm]c\neq 0[/mm] ist?
Weil [mm] $z^2=c$ [/mm] für [mm] $c\not=0$ [/mm] doch zwei verschiedene Lösungen hat?!
Ich glaube, dein Missverständnis rührt daher, was in deiner Aussage variabel und was fest ist.
Das Polynom $f$ ist fest (wie in meinem Beispiel [mm] $f(z)=z^2$).
[/mm]
Zu diesem Polynom stimmt die Aussage, dass $f$ fast alle Werte [mm] $c\in\IC$ [/mm] genau n-mal annimmt.
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 So 10.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi Marc,
mir war klar, was fest ist, aber ich hatte ein Problem damit zu sehen, wie ich in einem anderen Fall als hier (hier zeigt es ja die Bestimmung der 2-ten Wurzel) den fraglichen Umstand zeigen sollte. Ich hoffte vielleicht noch eine andere Einsichtsmöglichkeit zu erkennen, die ich dann hätte verallgemeinern können.
Viele Grüße und ein schönes Wochenende,
Reynir
PS.: Und auch dir vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Sa 09.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Machen wir Nägel mit Köpfen:
sei f ein Polynom vom Grad n [mm] \ge [/mm] 1, c [mm] \in \IC [/mm] und [mm] f_c:=f-c. [/mm] Der Fundamentalsatz besagt, dass [mm] f_c [/mm] genau n Nullstellen hat, gezählt mit Vielfachheiten.
Sei [mm] M:=\{c \in \IC: f_c \quad hat \quad eine \quad Nullstelle \quad der \quad Ordnung \quad \ge 2\}
[/mm]
Sei nun c [mm] \in [/mm] M. Dazu gibt es ein [mm] z_c [/mm] mit [mm] f'_c(z_c)=0, [/mm] also, wegen $f'_c=f',$
(1) [mm] f'(z_c)=0.
[/mm]
Weiter gilt.
(2) [mm] c_1,c_2 \in [/mm] M [mm] \Rightarrow z_{c_1} \ne z_{c_1} [/mm] ,
denn $f( [mm] z_{c_1})=c_1 \ne c_2 [/mm] = f( [mm] z_{c_2})$ [/mm] und somit [mm] z_{c_1} \ne z_{c_2}.
[/mm]
Da $f'$ höchsten endlich viele Nullstellen hat, folgt nun aus (1) und (2):
M ist höchstens endlich.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 So 10.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Vielen Dank Fred, das hat mir sehr beim Verstehen geholfen, zumal die Rückführung auf die Ableitung mir ein nützlicher Trick zu sein scheint.
Viele Grüße und ein schönes Wochenende,
Reynir
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