Grad Minimalpolynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:37 So 23.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Beweise oder wiederlege: Ist [mm] f : X \to X [/mm] ein Endomorphismus eines endlich dimensionalen Vektorraums und [mm]a \in X [/mm], sodass [mm] a,f(a),...,f^{r-1}(a)[/mm] linear unabängig sind, so ist der Grad des Minimalpolynoms mindestens [mm]r[/mm]. |
Hallo,
ich nehme an, dass die Aussage falsch ist.
Um dies zu beweisen muss ich ja "nur" ein Gegenbeispiel finden.
Mir fällt es aber schwer solch ein Gegenbeispiel zu finden.
Kann mir dabei jemand behilflich sein?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Mo 24.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich nehme an, dass die Aussage falsch ist.
Die Aussage ist richtig. Jetzt überleg mal in die Richtung, wenn du nicht mehr weiterkommst, melde dich.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:29 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Also falls die Aussage stimmt muss ich laut Vorlesung die Definition vom Minimalpolynom benutzen:
Sei [mm]V[/mm] ein [mm]K-VR[/mm]; Dimension endlich; [mm]\phi: V \to V[/mm] Endomorphismus.
Sei [mm]f(t) \in K[t][/mm] normiert und grad [mm]f(t)[/mm] minimal mit [mm]f(\phi)=Nullabbildung[/mm].
Dann heißt [mm]f(t)[/mm] Minimalpolynom von [mm] \phi.
[/mm]
Ich weiß aber nicht wie ich das jetzt anwenden soll, um die Aussage zu beweisen.
Ein Ansatz wär mir eine große Hilfe!
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Mo 24.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also falls die Aussage stimmt muss ich laut Vorlesung die
> Definition vom Minimalpolynom benutzen:
Öhm. Das musst du soweiso?
> Ich weiß aber nicht wie ich das jetzt anwenden soll, um die Aussage zu beweisen.
>
> Ein Ansatz wär mir eine große Hilfe!
Du sollst ja auch über die Übung selber nachdenken. Als weitere Hilfe: was ist denn [m]f(\phi)[/m] genau? Setz mal das dann ein ... wie sieht das aus?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
> Als weitere Hilfe: was ist denn [m]f(\phi)[/m] genau? Setz mal das
> dann ein ... wie sieht das aus?
Ich tu mich mit der Aufgabe ziemlich schwer.
Ich weiß zwar dass [m]f(\phi)[/m] die Nullabbildung sein muss, aber ich habe ja kein Minimalpolynom [m]f(t)[/m] in das ich [mm] \phi [/mm] einsetzen könnte.
Ich weiß nur dass [mm]a,f(a),...,f^{r-1}(a)[/mm] linear unabhängig ist.
Mit diesen Grundlagen schaff ich es irgendwie nicht einen Ansatz zu schreiben, den ich hier zur Diskussion stellen könnte :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mo 24.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich weiß zwar dass [m]f(\phi)[/m] die Nullabbildung sein muss,
> aber ich habe ja kein Minimalpolynom [m]f(t)[/m] in das ich [mm]\phi[/mm]
> einsetzen könnte.
Doch?! Widerspruchsannahme: f hat Grad kleiner r.
> Ich weiß nur dass [mm]a,f(a),...,f^{r-1}(a)[/mm] linear unabhängig
> ist.
Betrachte [m]f(\phi)(v)=0[/m]!
SEcki
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