Grad der Körpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimme [mm] [\IQ(\wurzel[3]{2},i):\IQ] [/mm] und die Basis davon! |
Hallo,
also ich weiß immer nicht so genau, wie man den Grad bestimmt, wenn mehrere Elemente adjunktiert werden. Kann ich da mit dem einzelnen Graden etwas anfangen und vielleicht die Körpergradformel anwenden?
Ich weiß
[mm] [\IQ(i):\IQ]=2 [/mm] und [mm] \{1,i\} [/mm] Basis davon und
[mm] [\IQ(\wurzel[3]{2}):\IQ]=3 [/mm] und [mm] \{1,\wurzel[3]{2},\wurzel[3]{2}^{2}\} [/mm] Basis
Geht das so? Dann wäre nach der Körpergradformel [mm] [\IQ(\wurzel[3]{2},i):\IQ]=6. [/mm] Stimmt das?
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 So 29.01.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
> also ich weiß immer nicht so genau, wie man den Grad
> bestimmt, wenn mehrere Elemente adjunktiert werden. Kann
> ich da mit dem einzelnen Graden etwas anfangen und
> vielleicht die Körpergradformel anwenden?
die idee mit der multiplikationsformel für körpergrade ist gut. du musst aber beachten, dass diese lautet $[M:L][L:K] = [M:K]$, also musst du beim zweiten körpergrad schon den grad über dem zwischenkörper, also nich den grad über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] berechnen. es bietet sich hier an, folgende zerlegung zu wählen: [mm] $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, i):\mathbb{Q}] [/mm] = [mm] [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, i):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}): \mathbb{Q}]$.
[/mm]
um eine basis des [mm] $\mathbb{Q}$-vektorraums $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, [/mm] i)$ zu bestimmen schaue dir ma besten mal den beweis zur gradformel an, dort wird meist eine solche basis konstruktiv angegeben.
grüße
andreas
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Hallo und danke für die Antwort!
Bleibt für mich die Frage, was die Dimesnion von [mm] \IQ(\wurzel[3]{2},i):\IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] ist. Ich würde sagen 4, denn [mm] \IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] wird von 3 Elementen erzeugt und, wenn wir das i noch dazu nehmen, sind es 4. Stimmt das?
Das mit der Basis ist mir dann klar!
VG Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 So 29.01.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
> Bleibt für mich die Frage, was die Dimesnion von
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{2},i):\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] ist. Ich würde
> sagen 4, denn [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] wird von 3 Elementen
> erzeugt und, wenn wir das i noch dazu nehmen, sind es 4.
> Stimmt das?
so einfach geht das nicht. du betrachtest ja die erweiterung [mm] $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})(i)$ [/mm] von [mm] $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, [/mm] adjungierst also zum körper [mm] $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ [/mm] noch das element $i$. genau wie bei einfachen körpererweiterungen von [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] erhälst du auch hier den körpergrad als den grad des minimalpolynoms von $i$ in [mm] $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[X]$. [/mm] welchen grad hat also dieses minimalpolynom?
grüße
andreas
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hmm... okay. Dann würde ich sagen, dass
[mm] x^{2}+1 [/mm] das Minimalpolynom ist. Es hat i als Nullstelle und den Grad 2 und ist damit dann auch der Grad der Körpererweiterung 2?
VG Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 So 29.01.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
richtig. jetzt musst du nur noch die 6 basiselemente deiner erweiterung angeben, dann bist du fertig.
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
nur um sicher zu gehen, jetzt noch die Frage nach der Basis! Dazu muss ich doch wissen, welche Elemente die Basis von [mm] \IQ(\wurzel[3]{2},i):\IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] hat. Das kommt mir aber etwas komisch vor, weil der Grad ja nur 2 ist. Dann können doch da auch nur 2 Elemente drin sein oder? Da würde ich ja intuitiv sagen [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] und i, aber das stimmt sicher nicht, oder? Die 1 muss doch auch nochdrin sein, damit alle Elemente aus [mm] \IQ [/mm] erzeugt werden können oder?
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 So 29.01.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
> nur um sicher zu gehen, jetzt noch die Frage nach der
> Basis! Dazu muss ich doch wissen, welche Elemente die Basis
> von [mm]\IQ(\wurzel[3]{2},i):\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] hat. Das kommt
> mir aber etwas komisch vor, weil der Grad ja nur 2 ist.
> Dann können doch da auch nur 2 Elemente drin sein oder? Da
> würde ich ja intuitiv sagen [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] und i, aber das
> stimmt sicher nicht, oder? Die 1 muss doch auch nochdrin
> sein, damit alle Elemente aus [mm]\IQ[/mm] erzeugt werden können
> oder?
ob du als basis [m] \{ \sqrt[3]{2}, i \} [/m] oder [m] \{ 1, i \} [/m] nimmst, ist egal, da ja [mm] $\sqrt[3]{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ [/mm] und damit natürlich auch [mm] $(\sqrt[3]{2})^{-1} \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, [/mm] da $ [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ [/mm] ein körper ist. folglich also auch $ 1 = [mm] \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2})^{-1} \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$.
[/mm]
somit kannst du die elemete wechselseitig auseinander gewinnen!
grüße
andreas
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Hallo,
und vielen Dank! Hast mir sehr geholfen!
VG Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 29.01.2006 | | Autor: | DerHein |
Hallo ihr,
"Dann würde ich sagen, dass $ [mm] x^{2}+1 [/mm] $ das Minimalpolynom ist."
Ok damit alleine ist noch nicht so viel gewonnen, die eigenltiche Frage ist ob du das auch beweisen kannst ? Ist in dem Fall nicht so schwer, aber ein bischen Arbeit liegt noch vor dir.
Zu deiner Basis Frage: Sagen wir wir haben endliche Körpererweiterungen
$M [mm] \supset [/mm] L [mm] \supset [/mm] K $ mit Basen [mm] $a_1,\dots,a_n$ [/mm] von $L/K$ und [mm] $b_1,\dots,b_m$ [/mm] von $M/L$ gegeben, dann ist [mm] $a_i b_j [/mm] , [mm] \, i=1,\dots,n [/mm] , [mm] \,j=1,\dots,m$ [/mm] eine Basis von $M/K$. Weiter gilt ist [mm] $K(\alpha)/K$ [/mm] eine Körpererweiterung vom Grad n so ist [mm] $1,\alpha,\alpha^2,\dots,\alpha^{n-1}$ [/mm] eine $K$-Basis von [mm] $K(\alpha)/K$.
[/mm]
Der Beweis sollte in jedem Buch über Algebra zu finden sein (Gradsatz), ist aber auch eine Gute Übung. So try it yourself.
mfg Hein
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