Grad der Verkettung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:09 Fr 27.05.2005 | | Autor: | kimnhi |
Hi!
Ich habe da mal eine Frage:
welchen grad hat die verkettung der ganzrationalen funktion f vom grad n mit der funktion g vom grad m?
f(x) = $ [mm] a_{n} [/mm] $ * $ [mm] x^{n} [/mm] $ + ... + $ [mm] a_{0} [/mm] $
g(x) = $ [mm] b_{m} [/mm] $ * $ [mm] x^{m} [/mm] $ + ... $ [mm] b_{0} [/mm] $
begründen sie ihre antwort.
toll habe keine ahnung was ich hier machen soll....
aufgabe d) untersuchen sie frage c) bezüglich der beiden speizialfälle
m > 1 und n=0
sowie
m = 1 und n > 1
Ich weiss garnicht, was mit dem Grad der Verkettung gemeint ist bzw. wie man ihn ermitteln kann.
Ich weiss nur, dass es sich ber der Verkettung um f(g(x)) handeln muss und man somit dass hier rausbekommt:$ [mm] a_{n} \cdot (g(x))^{n} [/mm] $ = $ [mm] a_{n} \cdot (b_{m} \cdot x^{m} [/mm] + ... [mm] +b_{0})^n [/mm] $ .
Wie bestimme ich nun den Grad dieser Summanden?
Vielen lieben Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo kimnhi!
Also, man erhält ja:
$f(g(x)) = [mm] a_n(b_mx^m [/mm] + [mm] b_{m-1}x^{m-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_1x+b_0)^n [/mm] + [mm] a_{n-1} (b_mx^m [/mm] + [mm] b_{m-1}x^{m-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_1x+b_0)^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots a_1(b_mx^m [/mm] + [mm] b_{m-1}x^{m-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_1x+b_0) [/mm] + [mm] a_0$.
[/mm]
Jetzt schauen wir uns die einzelnen Potenzen mal an:
Für ein [mm] $i\in\{0,1,\ldots,n\}$ [/mm] gilt:
[mm] $(b_mx^m [/mm] + [mm] b_{m-1}x^{m-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_1x+b_0)^i [/mm] = [mm] b_m^i (x^m)^i [/mm] + [mm] \ldots \quad \mbox{Terme mit niedrigeren Potenzen} [/mm] = [mm] b_m^i x^{mi} [/mm] + [mm] \ldots \quad \mbox{Terme mit niedrigeren Potenzen}$.
[/mm]
Die Summanden oben sind also jeweils ganzrationale Funktionen vom Grad $mi$, für [mm] $i=0,1,\ldots,n$. [/mm] Der Grad der ganzrationalen Funktion $f [mm] \circ [/mm] g$ insgesamt ist das Maximum dieser einzelnen Grade, also $mn$.
Noch einmal "in Formeln":
$f(g(x)) = [mm] a_nb_m^n x^{mn} [/mm] + [mm] \ldots \quad \mbox{Terme mit niedrigeren Potenzen}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Fr 27.05.2005 | | Autor: | kimnhi |
Wurden diese Spezialfälle schon berüchtigt?
m > 1 und n=0
sowie
m = 1 und n > 1
Es tut mir leid!Ich blick da irgendwie nicht durch=(
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Hallo,
die Spezialfälle sind da schon abgehandelt.
> m > 1 und n=0
Für n=0 folgt der Grad f(g(x)) = m * 0 = 0, also eine Konstante.
> m = 1 und n > 1
Für n>1 folgt der Grad f(g(x)) = m *n = n.
Gruß
MathePower
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