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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Do 11.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich bin gerade völlig irritiert.
Der Gradient ist rechtwinklig zur Niveaulinie, das sehe ich noch ein....
Doch kommen wir nun zu einer Fläche im 3-D Raum.
ich stelle mir vor, wie ich an einem Hang als Wanderer Stehe. Dieser Hang ist die Fläche...
Nun sagt mir der Gradient an diesem Punkt in welche Richtung ich laufen muss, damit der Anstieg am stärksten ist
Das ist hier illustriert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk1-2005-2006/node38.html
Doch nun gilt doch auch, dass der Gradient rechtwinklig auf der Tangentialebene steht?
[Dateianhang nicht öffentlich]
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk1-2005-2006/node38.html
oder habe ich das völlig falsch aufgefasst? Dann hätte ich den Gradient auch hier falsch eingezeichnet? https://matheraum.de/read?i=732748
Denn dies scheint sich ja gröber zu widersprechen...
Doch hier steht er auch rechtwinklig auf der Fläche:
[Dateianhang nicht öffentlich]
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs15/seite40.html
gruss Kuriger
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo
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> Ich bin gerade völlig irritiert.
> Der Gradient ist rechtwinklig zur Niveaulinie, das sehe
> ich noch ein....
Dies bezieht sich auf den Fall einer Funktion [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] .
Eine Niveaulinie von f ist eine Kurve in der Ebene mit einer
Gleichung der Form f(x,y)=C .
Der Gradientenvektor [mm] \pmat{f_x(x,y)\\f_y(x,y)} [/mm] in einem Punkt P(x | y) der
Ebene steht senkrecht zur Niveaulinie, welche durch
diesen Punkt P verläuft.
> Doch kommen wir nun zu einer Fläche im 3-D Raum.
> ich stelle mir vor, wie ich an einem Hang als Wanderer
> stehe. Dieser Hang ist die Fläche...
> Nun sagt mir der Gradient an diesem Punkt in welche
> Richtung ich laufen muss, damit der Anstieg am stärksten
> ist.
> Doch nun gilt doch auch, dass der Gradient rechtwinklig auf
> der Tangentialebene steht?
>
> oder habe ich das völlig falsch aufgefasst? Dann hätte
> ich den Gradient auch hier falsch eingezeichnet?
> Denn dies scheint sich ja gröber zu widersprechen...
Hallo Kuriger,
im 3D-Fall sprichst du von zwei verschiedenen Gradienten:
1.) du beschreibst die Fläche im Raum als Funktionsgraph:
z=f(x,y)
Der Gradient [mm] grad_2(f) [/mm] = [mm] \pmat{f_x(x,y)\\f_y(x,y)} [/mm] dieser Funktion f
ist ein in der x-y-Ebene (bzw. parallel zu dieser) liegender
2D-Vektor, der dir quasi auf der "Landkarte" des Geländes
anzeigt, in welche Richtung du gehen sollst, wenn du den
steilsten Anstieg nach oben wählst. Der Vektor [mm] grad_2(f) [/mm] steht
(in der x-y-Ebene) senkrecht zur Niveaulinie von f im ent-
sprechenden Punkt (x | y) .
2.) du beschreibst die Fläche im Raum in der Form
F(x,y,z)=0 (oder auch F(x,y,z) = K )
Der Gradient [mm] grad_3(F) [/mm] = [mm] \pmat{F_x(x,y,z)\\F_y(x,y,z)\\F_z(x,y,z)} [/mm] dieser Funktion F
ist ein 3D-Vektor, der die Richtung der Normalen (im Raum) zu
jener Niveaufläche der Funktion F angibt, welche durch deren
Punkt P(x | y | z) geht. Diese Niveaufläche ist natürlich nichts
anderes als eben die betrachtete Fläche im Raum.
Insofern ist also die Analogie zwischen 2D und 3D durchaus
intakt:
In 2D : (2D-) Gradientenvektor senkrecht zur (1D-) Niveaulinie von f(x,y)
In 3D : (3D-) Gradientenvektor senkrecht zur (2D-) Niveaufläche von F(x,y,z)
Diese beiden unterschiedlichen Gradientenvektoren haben schon
miteinander zu tun. Beispielsweise ist die Projektion des Normalen-
vektors [mm] grad_3(F) [/mm] auf die x-y-Ebene parallel zu [mm] grad_2(f) [/mm] .
Das heißt mit anderen Worten: wenn man [mm] grad_3(F) [/mm] kennt, kann
man die Richtungsgerade von [mm] grad_2(f) [/mm] bestimmen.
Gruß und schönen Nachmittag !
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Al-Chwarizmi
Danke für die tolle Erklärung und dass du mir geholfen hast wieder etwas Ordnung in die Verwirrung zu bringen.
Habe noch eine Frage zu den Niveaulinien. Der gradient steht ja rechtwinklig auf denen. Oder das ist nun gerade auch der stärkste Anstieg?
Danke, gruss Kuriger
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> Hallo Al-Chwarizmi
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> Danke für die tolle Erklärung und dass du mir geholfen
> hast wieder etwas Ordnung in die Verwirrung zu bringen.
Danke. Mache sowas gern.
> Habe noch eine Frage zu den Niveaulinien. Der Gradient
> steht ja rechtwinklig auf denen. Oder das ist nun gerade
> auch der stärkste Anstieg?
Machen wir auch gerade sofort klar, wovon wir sprechen.
Funktion [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] mit f(x,y)=z
Punkt [mm] P_0(x_0,y_0,z_0=f(x_0,y_0) [/mm] auf dem Graph von f
Niveaulinie durch [mm] P_0: [/mm] Gleichung [mm] f(x,y)=z_0
[/mm]
Der Gradientenvektor [mm] grad_2(f)(x_0,y_0) [/mm] steht (in [mm] \IR^2)
[/mm]
senkrecht zur Niveaulinie. Er zeigt (auf der Landkarte in
der horizontalen Ebene) in die Richtung des steilsten
Anstiegs der Funktionsfläche (aber eben nur im Grundriss).
Die Größe des steilsten Anstiegs entspricht dem Betrag
dieses Gradientenvektors.
Um den Zusammenhang mit dem 3D-Gradientenvektor der
Funktion F(x,y,z):=f(x,y) zu sehen, ist bestimmt eine
Schnittansicht nützlich, bei welcher $\ [mm] grad_2(f)(x_0,y_0)$ [/mm] und
$\ [mm] grad_3(F)(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] in der Bildebene liegen.
LG Al-Chw.
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