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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Gradient
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Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Mo 12.12.2011
Autor: eddiebingel

Aufgabe
Berechnen sie grad(f) für folgende Funktionen
a) f(x,y,z) = sin(x*sin(z))
b) f(x,y,z) = [mm] x^{y+z} [/mm]
c) f(x,y,z) = [mm] (x+y)^{z} [/mm]

Wollte mich nur vergewissern ob meine partiellen Ableitungen richtig sind und ob ich die Definition des Gradienten richtig verstanden habe

Allgemeine Def. ist doch grad(f) = [mm] (\bruch{\partial f}{\partial x},\bruch{\partial f}{\partial y},\bruch{\partial f}{\partial z})^{T} [/mm] richtig?

Bei der a) habe ich jetzt grad(f) = [mm] (cos(x*sin(z))*sin(z),0,cos(x*sin(z)*x*cos(z))^{T} [/mm]

b) grad(f) = [mm] ((y+z)*x^{y+z-1},x^{y+z},x^{y+z})^{T} [/mm]

c) grad(f) = [mm] (z*(x+y)^{z-1},z*(x+y)^{z-1},(x+y)^{z})^{T} [/mm]

stimmt das soweit?

gruß eddie

        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Mo 12.12.2011
Autor: fred97


> Berechnen sie grad(f) für folgende Funktionen
>  a) f(x,y,z) = sin(x*sin(z))
>  b) f(x,y,z) = [mm]x^{y+z}[/mm]
>  c) f(x,y,z) = [mm](x+y)^{z}[/mm]
>  Wollte mich nur vergewissern ob meine partiellen
> Ableitungen richtig sind und ob ich die Definition des
> Gradienten richtig verstanden habe
>  
> Allgemeine Def. ist doch grad(f) = [mm](\bruch{\partial f}{\partial x},\bruch{\partial f}{\partial y},\bruch{\partial f}{\partial z})^{T}[/mm]
> richtig?

Ja


>  
> Bei der a) habe ich jetzt grad(f) =
> [mm](cos(x*sin(z))*sin(z),0,cos(x*sin(z)*x*cos(z))^{T}[/mm]

Stimmt.


>  
> b) grad(f) = [mm]((y+z)*x^{y+z-1},x^{y+z},x^{y+z})^{T}[/mm]

[mm] f_y [/mm] und [mm] f_z [/mm] stimmen nicht.


>  
> c) grad(f) = [mm](z*(x+y)^{z-1},z*(x+y)^{z-1},(x+y)^{z})^{T}[/mm]

[mm] f_z [/mm] stimmt nicht.

Allgemein für a>0: ist [mm] f(x):=a^x, [/mm] so ist $f'(x)= [mm] a^x*ln(a)$ [/mm]

FRED

>  
> stimmt das soweit?
>  
> gruß eddie


Bezug
                
Bezug
Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Mo 12.12.2011
Autor: eddiebingel


> > b) grad(f) = [mm]((y+z)*x^{y+z-1},x^{y+z},x^{y+z})^{T}[/mm]
>  
> [mm]f_y[/mm] und [mm]f_z[/mm] stimmen nicht.
>  
>

Also hier
grad(f) = [mm] ((y+z)*x^{y+z-1},x^{y+z}*ln(x),x^{y+z}*ln(x))^{T} [/mm]

für x > 0

> >  

> > c) grad(f) = [mm](z*(x+y)^{z-1},z*(x+y)^{z-1},(x+y)^{z})^{T}[/mm]
>  
> [mm]f_z[/mm] stimmt nicht.
>

und hier grad(f) = [mm] (z*(x+y)^{z-1},z*(x+y)^{z-1},(x+y)^{z}*ln(x+y))^{T} [/mm]
für x > 0 und y > 0 für negatives y muss |y|< x sein

> Allgemein für a>0: ist [mm]f(x):=a^x,[/mm] so ist [mm]f'(x)= a^x*ln(a)[/mm]
>  
> FRED
>  >  
> > stimmt das soweit?
>  >  
> > gruß eddie
>  

gruß eddie

Bezug
                        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Mo 12.12.2011
Autor: MathePower

Hallo eddiebingel,

> > > b) grad(f) = [mm]((y+z)*x^{y+z-1},x^{y+z},x^{y+z})^{T}[/mm]
>  >  
> > [mm]f_y[/mm] und [mm]f_z[/mm] stimmen nicht.
>  >  
> >
> Also hier
> grad(f) =
> [mm]((y+z)*x^{y+z-1},x^{y+z}*ln(x),x^{y+z}*ln(x))^{T}[/mm]
>  
> für x > 0
>  
> > >  

> > > c) grad(f) = [mm](z*(x+y)^{z-1},z*(x+y)^{z-1},(x+y)^{z})^{T}[/mm]
>  >  
> > [mm]f_z[/mm] stimmt nicht.
>  >

> und hier grad(f) =
> [mm](z*(x+y)^{z-1},z*(x+y)^{z-1},(x+y)^{z}*ln(x+y))^{T}[/mm]
>  für x > 0 und y > 0 für negatives y muss |y|< x sein

>  > Allgemein für a>0: ist [mm]f(x):=a^x,[/mm] so ist [mm]f'(x)= a^x*ln(a)[/mm]

>  
> >  

> > FRED
>  >  >  
> > > stimmt das soweit?
>  >  >  
> > > gruß eddie
> >  



Stimmt alles. [ok]


> gruß eddie


Gruss
MathePower

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