Gradient, Tangentialebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Di 10.05.2011 | | Autor: | maximi |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f(x,y) = [mm] \wurzel{4+x^2+y^2} [/mm] und g(x,y,z) = [mm] 4x^2y-3xy^4+5z^2x [/mm] .
a.) Bestimmen Sie den Gradienten von f im Punkt (2,1) und den Gradienten von g im Punkt (1,1,1).
b.) Stellen Sie in den angegebenen Punkten die Gleichung für die Tangente an die Kurve f = const. und die Gleichung für die Tangentialebene an die Fläche g = const. auf.
c.) Wie lautet die Gleichung für die Tangentialebene an die Fläche [mm] \wurzel{z}= [/mm] f(x,y) im Fall x = 3, y =6? |
a.) Erledigt. Als Ergebnis habe ich grad f(2,1) = [mm] \vektor{\bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3}} [/mm] und grad g(1,1,1) = [mm] \vektor{10 \\ -8 \\ 10}.
[/mm]
Partiell nach der Kettenregel abgeleitet und dann die Stellen eingesetzt.
b.) Hier fangen meine Probleme an. Jetzt wird's etwas länglich:
Ich dachte, ich bilde die Tangentialebene von z.B. f(x,y) aus diesem Beispiel, indem ich noch ein "-z" anhänge und die neue Funktion = 0 setze, die partielle Ableitung nach z bilde, und wiederum einsetze um den Normalenvektor zu erhalten.
In diesem Beispiel: (ich nenne die neue Funktion mit -z mal "h")
h(x,y,z) = [mm] \wurzel{4+x^2+y^2} [/mm] -z
partielle Abl. nach x bleibt unverändert
partielle Abl. nach y bleibt unverändert
partielle Abl. nach z = -1
also ist z an der Stelle (2,1) = [mm] \wurzel{4+2^2+1^2} [/mm] -1 = 2
Im Punkt (2,1,2) wäre der Normalenvektor der Tangentialebene dann also gleich
[mm] \vektor{\bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{2} \\ 2}
[/mm]
also die Tangentialebene T: [mm] \vektor{\bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{2} \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] = [mm] \bruch{17}{3}
[/mm]
Jetzt die Schopenhauerische Frage: Was soll das alles was ich da getan habe (sofern es nicht kompletter Unsinn war)? Ich habe eine Menge Information im Kopf, aber ich bekomme es nicht in einen sinnvollen Kontext
c.) Völlige Ratlosigkeit.
P.S. Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Di 10.05.2011 | | Autor: | maximi |
Es geht natürlich um Funktionen mehrerer veränderlicher... habe mich im Bereich geirrt, tut mir Leid. Kann ein Moderator das verschieben?
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Hallo maximi,
> Gegeben sind die Funktionen f(x,y) = [mm]\wurzel{4+x^2+y^2}[/mm] und
> g(x,y,z) = [mm]4x^2y-3xy^4+5z^2x[/mm] .
> a.) Bestimmen Sie den Gradienten von f im Punkt (2,1) und
> den Gradienten von g im Punkt (1,1,1).
> b.) Stellen Sie in den angegebenen Punkten die Gleichung
> für die Tangente an die Kurve f = const. und die Gleichung
> für die Tangentialebene an die Fläche g = const. auf.
> c.) Wie lautet die Gleichung für die Tangentialebene an
> die Fläche [mm]\wurzel{z}=[/mm] f(x,y) im Fall x = 3, y =6?
>
> a.) Erledigt. Als Ergebnis habe ich grad f(2,1) =
> [mm]\vektor{\bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3}}[/mm] und grad g(1,1,1) =
> [mm]\vektor{10 \\ -8 \\ 10}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Partiell nach der Kettenregel
> abgeleitet und dann die Stellen eingesetzt.
>
> b.) Hier fangen meine Probleme an. Jetzt wird's etwas
> länglich:
> Ich dachte, ich bilde die Tangentialebene von z.B. f(x,y)
> aus diesem Beispiel, indem ich noch ein "-z" anhänge und
> die neue Funktion = 0 setze, die partielle Ableitung nach z
> bilde, und wiederum einsetze um den Normalenvektor zu
> erhalten.
>
> In diesem Beispiel: (ich nenne die neue Funktion mit -z mal
> "h")
> h(x,y,z) = [mm]\wurzel{4+x^2+y^2}[/mm] -z
> partielle Abl. nach x bleibt unverändert
> partielle Abl. nach y bleibt unverändert
> partielle Abl. nach z = -1
>
> also ist z an der Stelle (2,1) = [mm]\wurzel{4+2^2+1^2}[/mm] -1 = 2
>
> Im Punkt (2,1,2) wäre der Normalenvektor der
> Tangentialebene dann also gleich
> [mm]\vektor{\bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{2} \\ 2}[/mm]
> also die
> Tangentialebene T: [mm]\vektor{\bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{2} \\ 2}[/mm]
> * [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm] = [mm]\bruch{17}{3}[/mm]
Um den Normalenvektor bilden zu können,
kann f als Vektorfunktion geschrieben werden:
[mm]F\left(x,y\right)=\pmat{x \\ y \\ f\left(x,y\right)}[/mm]
Bilde davon die partiellen Ableitungen und
berechne mit Hilfe des Kreuzproduktes den Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm]
an der Stelle [mm](x_{0}, \ y_{0})[/mm]
Dann lautet die Tangentialebene:
[mm]\left(\overrightarrow{x}-\pmat{x_{0} \\ y{0} \\ f\left(x_{0},y_{0}\right) } \right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
>
> Jetzt die Schopenhauerische Frage: Was soll das alles was
> ich da getan habe (sofern es nicht kompletter Unsinn war)?
> Ich habe eine Menge Information im Kopf, aber ich bekomme
> es nicht in einen sinnvollen Kontext
>
> c.) Völlige Ratlosigkeit.
>
> P.S. Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 10.05.2011 | | Autor: | maximi |
Okay... nix verstanden. 
Partielle Ableitungen kann ich und Kreuzprodukt auch, aber bei allem drumherum hab ich nur Bahnhof verstanden.
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Hallo maximi,
> Okay... nix verstanden.
> Partielle Ableitungen kann ich und Kreuzprodukt auch, aber
> bei allem drumherum hab ich nur Bahnhof verstanden.
Dann rechne mal vor, wie weit Du kommst.
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:24 Di 10.05.2011 | | Autor: | maximi |
Ich verstehe es wirklich ganz grundsätzlich nicht, und weiss nicht wo ich anfangen soll.
Allein schon die Darstellung von f(x) als Vektor, und wo kommt da plötzlich F her?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Do 12.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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