Gradient/total differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 So 18.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] offen f:U [mm] \to \IR [/mm] stetig in Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] U und
g:U [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar in [mm] x_{0} [/mm] mit [mm] g(x_{0})=0.Zeigen [/mm] Sie, daß
[mm] grad(fg)(x_{0} [/mm] existiert und daß [mm] grad(fg)(x_{0})=f(x_{0})gradg(x_{0}). [/mm] |
Hallo,
ich habe folgende Überlegungen dazu gemacht:
Aus der totalen Differenzierbarkeit von [mm] fg(x_{0}) [/mm] würde folgen, dass der
[mm] grad(fg)(x_{0}) [/mm] existiert.
Nun ist die Frage , wie man die totale Differenzierbarkeit von [mm] fg(x_{0}) [/mm] zeigen kann.
Ich habe folgendes versucht:
Nach der Definition der totalen Differenzierbarkeit soll
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)g(x_{0}+h)-Ah}{||h||}=0
[/mm]
gelten.
Da g total differenzierbar ist , gilt [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{g(x_{0}+h)-Ah}{||h||}=0
[/mm]
Die Differenz zwischen [mm] \bruch{f(x_{0}+h)g(x_{0}+h)-Ah}{||h||} [/mm] und
[mm] \bruch{g(x_{0}+h)-Ah}{||h||} [/mm] ist
[mm] \bruch{g(x_{0}+h)*(f(x_{0}+h)-1)}{||h||}
[/mm]
D.h man soll zeigen , daß
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{g(x_{0}+h)*(f(x_{0}+h)-1)}{||h||}=0
[/mm]
Ab hier komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht , wie man den Ausdruck links berechnet.
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mo 19.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei U [mm]\subset \IR^{n}[/mm] offen f:U [mm]\to \IR[/mm] stetig in Punkt
> [mm]x_{0} \in[/mm] U und
> g:U [mm]\to \IR[/mm] differenzierbar in [mm]x_{0}[/mm] mit [mm]g(x_{0})=0.Zeigen[/mm]
> Sie, daß
> [mm]grad(fg)(x_{0}[/mm] existiert und daß
> [mm]grad(fg)(x_{0})=f(x_{0})gradg(x_{0}).[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe folgende Überlegungen dazu gemacht:
> Aus der totalen Differenzierbarkeit von [mm]fg(x_{0})[/mm] würde
> folgen, dass der
> [mm]grad(fg)(x_{0})[/mm] existiert.
> Nun ist die Frage , wie man die totale Differenzierbarkeit
> von [mm]fg(x_{0})[/mm] zeigen kann.
>
> Ich habe folgendes versucht:
> Nach der Definition der totalen Differenzierbarkeit soll
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)g(x_{0}+h)-Ah}{||h||}=0[/mm]
>
> gelten.
> Da g total differenzierbar ist , gilt
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{g(x_{0}+h)-Ah}{||h||}=0[/mm]
> Die
> Differenz zwischen [mm]\bruch{f(x_{0}+h)g(x_{0}+h)-Ah}{||h||}[/mm]
> und
> [mm]\bruch{g(x_{0}+h)-Ah}{||h||}[/mm] ist
> [mm]\bruch{g(x_{0}+h)*(f(x_{0}+h)-1)}{||h||}[/mm]
> D.h man soll zeigen , daß
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{g(x_{0}+h)*(f(x_{0}+h)-1)}{||h||}=0[/mm]
>
> Ab hier komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht , wie man
> den Ausdruck links berechnet.
>
> Gruß
> Igor
>
>
So in etwa würde ich argumentieren:
[mm] f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)=f(x_0+h)g(x_0+h)=f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0+h)g(x_0)=f(x_0+h)(g(x_0+h)-g(x_0))
[/mm]
[mm] =f(x_0+h)(Dg(x_0)(h)+...))=f(x_0+h)Dg(x_0)(h)+...=f(x_0)Dg(x_0)(h)+...
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x_0)Dg(x_0)=D(fg)(x_0).
[/mm]
... bezeichnet Terme die schneller als [mm]||h||[/mm] gegen null gehen.
[mm] Dg(x_0) [/mm] ist die Ableitung von g an der stelle [mm] x_0.
[/mm]
Es wurde [mm] g(x_0)=0 [/mm] und die Stetigkeit von f bei [mm]x_0[/mm] [mm](f(x_0+h)=f(x_0)+ H_f(x_0,h)[/mm] mit [mm]H_f(x_0,h)\to0[/mm] wenn [mm]||h||\to 0[/mm]) genutzt.
LG
gfm
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 19.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
kann man sagen , daß [mm] f(x_{0})Dg(x_{0})= D(gf)(x_{0}) [/mm] aus der Linearität
von Dg folgt?
Kann man auch für die Aufgabe so argumentieren :
Da [mm] Dg(x_{0}) [/mm] existiert und [mm] f(x_{0}) [/mm] existiert, so existiert auch
[mm] f(x_{0})Dg(x_{0})= D(gf)(x_{0}) [/mm] ?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mo 19.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
>
> kann man sagen , daß [mm]f(x_{0})Dg(x_{0})= D(gf)(x_{0})[/mm] aus
> der Linearität
> von Dg folgt?
Ne, i.A. muss D(gf) ja die Änderung von g UND f berücksichtigen, es gibt ja auch eine entsprechende Produktregel. Da f aber nur stetig ist, braucht man [mm] g(x_0)=0, [/mm] um die Auswirkung der u.U. vorliegenden Nichtdifferenzierbarkeit von f bei [mm] x_0 [/mm] zu eliminieren.
Das Argument ist
[mm] f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)=f(x_0+h)(g(x_0+h)-g(x_0))
[/mm]
da [mm] g(x_0)=0 [/mm] ist.
Da g bei [mm] x_0 [/mm] diff'bar ist, existiert eine Darstellung [mm] g(x_0+h)-g(x_0)=Dg(h)+r(||h||), [/mm] wobei r schneller gegen null geht als ||h||. Außerdem ist ja f bei [mm] x_0 [/mm] stetig, so dass eine Darstellung [mm] f(x_0+h)=f(x_0)+H(x_0,h) [/mm] existiert, bei der [mm] H(x_0,h) [/mm] mit [mm] ||h||\to0 [/mm] verschwindet. Wenn man das alles einsetzt, ergibt sich
[mm] f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)=\left(f(x_0)+H(x_0,h)\right)\left(Dg(h)+r(||h||)\right)=f(x_0)Dg(h)+H(x_0,h)Dg(h)+H(x_0,h)r(||h||)
[/mm]
[mm] f(x_0)Dg(h) [/mm] ist wieder eine lineare Abbildung in h und [mm] H(x_0,h)Dg(h)+H(x_0,h)r(||h||) [/mm] geht schneller als ||h|| gegen null. Damit ist die Definition von total diff'bar für fg erfüllt und auch das Resultat bestimmt.
> Kann man auch für die Aufgabe so argumentieren :
>
> Da [mm]Dg(x_{0})[/mm] existiert und [mm]f(x_{0})[/mm] existiert, so existiert
> auch
> [mm]f(x_{0})Dg(x_{0})= D(gf)(x_{0})[/mm] ?
Wenn das die einzigen Argumente sein sollen reicht, das nicht.
LG
gfm
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