Gradient und Hessematrix < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion
f(x1,x2) = 6 * x1² + 4 * x1 * x2 + 2 * x2² - 18 * x1 + 12 * x2
a) Geben Sie den Gradienten von f an.
b) Geben Sie die zugehörige Hessematrix an. |
Kann mir vielleicht jemand bei der Lösung behilflich sein? Brauche umbedingt den Lösungsweg, da diese Aufgabe definitv morgen eine Klausuraufgabe sein wird.
Bin eine kleine Mathe-Niete :-(
Danke im Voraus.
LG
Mirco
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Betrachten Sie die Funktion
> f(x1,x2) = 6 * x1² + 4 * x1 * x2 + 2 * x2² - 18 * x1 +
> 12 * x2
>
> a) Geben Sie den Gradienten von f an.
Hallo,
für den gradienten mußt Du die beiden partiellen Ableitungen nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] in einen Vektor "stapeln": grad f= [mm] \vektor{f_{x_1}\\f_{x_2}}
[/mm]
> b) Geben Sie die zugehörige Hessematrix an.
Für die Hessematrix brauchst Du die 2. partiellen Ableitungen.
Es ist [mm] H_f= \pmat{ f_{x_1x_1} & f_{x_1x_2} \\ f_{x_2x_1} & f_{x_2x_2} }
[/mm]
> Kann mir vielleicht jemand bei der Lösung behilflich
> sein?
Leg mal los und zeig, was Du erreichst.
Gruß v. Angela
Brauche umbedingt den Lösungsweg, da diese Aufgabe
> definitv morgen eine Klausuraufgabe sein wird.
>
> Bin eine kleine Mathe-Niete :-(
>
> Danke im Voraus.
>
> LG
> Mirco
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für die schnelle Antwort.
Aber was ist nun eine partielle Abteilung?
Das gleiche wie eine "normale Ableitung" ?
Falls ja, würde ich es so machen:
f'(x1,x2) = 12 x1 + 4 x2 + 4 x2 - 18 x1 + 12 x2
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Hallo Benjerry!
Bei der partiellen Ableitung nach [mm] $x_1$ [/mm] werden alle anderen Variablen wie z.B. [mm] $x_2$ [/mm] wie Konstanten behandelt.
Gruß vom
Roadrunner
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Also so:
Vf = (12 x1 + 4 x2 - 18 4 x1 + 4 x2 + 12)
und dann die Hessematrix:
Hf = (12 4)
(4 4)
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> Also so:
>
> Vf = (12 x1 + 4 x2 - 18 4 x1 + 4 x2 + 12)
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> und dann die Hessematrix:
>
> Hf = (12 4)
> (4 4)
Hallo,
ja, richtig.
Gruß v. Angela
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Nochmal zum Verständnis..
f(x1,x2) = 6 * x1² + 4 * x1 * x2 + 2 * x2² - 18 * x1 + 12 * x2
wenn ich das jetzt erstmal nach x1 ableite ist das Ergebnis ja
12 x1 + 4 x2 - 18
Aber wieso?
Die x2 muss ich ja nicht beachten und die fallen alle weg, aber wieso wird aus dem 4 x1 nach der Ableitung ein 4 x2 und wieso fällt bei 18 x1 nach der Ableitung einfach das x1 weg???
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Hallo benjerry!
Wie ich oben schon schrieb: bei der partiellen Ableitung nach [mm] $x_1$ [/mm] werden alle anderen Variablen als konstant angesehen.
Ersetze doch einfach mal jedes [mm] $x_1$ [/mm] durch $x_$ und jedes [mm] $x_2$ [/mm] durch eine beliebige Zahl, z.B. [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 4$ .
Dann wie gewohnt die Ableitung bilden. Was stellst Du fest?
Gruß vom
Roadrunner
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Dann habe ich:
nach x1 abgelitet:
6x² + 4x * 4 + 2 * 4² - 18x + 12 * 4
normal abgeleitet ergibt das dann aber
12x + 4 - 18 und nicht 12x1 + 4x2 -18
nach x2 abgeleitet:
6 * 4² + 4 * 4 * x2 + 2 *x2² - 18 * 4 + 12 * x2
normal abgeleitet würde das dann
x2 + 4x2 + 12x2 und nicht 4x1 + 4x2 + 12
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Hallo,
der Vorschlag, das [mm] x_2 [/mm] mal durch eine Zahl zu ersetzen, war doch nur eine kleine Vorübung...
Merke Dir: wenn Du partiell nach [mm] x_1 [/mm] ableitest, behandelst Du die [mm] x_2 [/mm] so, als stünden da irgendwelche festen Zahlen,
und wenn Du partiell nach [mm] x_2 [/mm] ableitest, machst Du's umgekehrt.
Beispiel:
g(x,y)=x^2y + [mm] xy^5 [/mm] + 17xy +2x +3y +9
[mm] g_x(x,y)=2xy+y^5+17y [/mm] +2
[mm] g_y(x,y)=x^2+5xy^4 [/mm] + 17x+3
[mm] g_x_y(x,y)= (g_x(x,y))_y= 2x+5y^4+17,
[/mm]
die anderen schaffst Du nu nsicher selbst.
Gruß v. Angela
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