Gradienten bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Fr 22.05.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Berechnen Sie - wenn möglich - die Gradienten der folgenden Funktionen:
[mm]f_1 : \IR^n \backslash\{0\} \to \IR[/mm] mit [mm]f_1(x) := \bruch{1}{\parallel x\parallel ^3[/mm]
[mm]f_2 : \IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm] f_2(x,y) := \begin{cases} \bruch{x^2 - y^2}{\wurzel[3]{x^2 + y^2}}, & \mbox{für} (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für} (x,y) = (0,0)\end{cases}[/mm]
[mm]f_3 : M_{2,2}(\IR) \cong \IR^4 \to \IR[/mm] mit [mm]f_3(A) := det(A)[/mm]
[mm]f_4: \{(x,y,z) in \IR^3 : x > 0\} \to \IR[/mm] mit [mm] f(x,y,z) := zcos(xy) + ln x - e^{yz}[/mm] |
[mm] f_4:
[/mm]
[mm]f_4(x,y,z) = f(x,y,z) := zcos(xy) + ln x - e^{yz}[/mm]
[mm]f_4_x(x,y,z) = -yzsin(xy) + \bruch{1}{x}[/mm]
[mm]f_4_y(x,y,z) = -xzsin(xy) - ze^{yz}[/mm]
[mm]f_4_z(x,y,z) = cos(xy) - ye^z[/mm]
[mm]\Rightarrow grad f_4 = (-yzsin(xy) + \bruch{1}{x} , -xzsin(xy) - ze^{yz} , cos(xy) - ye^z)[/mm]
[mm] f_3: [/mm]
[mm] A := \pmat{a & b \\ c & d}, a,b,c,d \in \IR[/mm]
[mm] f_3(A) = det A = ad - bc[/mm]
[mm] f_3_a = d , f_3_b = -c , f_3_c = -b , f_3_d = a[/mm]
[mm]\Rightarrow grad f_3 = (d , -c , -b , a)[/mm]
[mm] f_2: [/mm]
[mm] f_2_x (x,y) = \bruch{2x \wurzel[3]{x^2 + y^2} - (x^2 - y^2)2x\wurzel{x^2 + y^2}}{\wurzel[3]{x^2 + y^2} ^2} = \bruch{2x( 1 - \bruch{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})}{\wurzel[3]{x^2 + y^2}}[/mm] , für [mm](x,y) \not= (0,0)[/mm]
[mm] f_2_x (0,0) = 0 [/mm]
[mm] f_2_x [/mm] ist in (0,0) nicht stetig:
Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm] beliebig. Betrachte [mm]f_2_x (\varepsilon , \varepsilon): [/mm]
[mm] \bruch{2\varepsilon(1 - \bruch{\varepsilon^2 - \varepsilon^2}{\varepsilon^2 + \varepsilon^2})}{\wurzel[3]{\varepsilon^2 + \varepsilon^2}} = \bruch{2\varepsilon}{2\varepsilon^2 \wurzel{2\varepsilon^2}} = \bruch{1}{\varepsilon \wurzel{2\varepsilon^2}} \to \infty (\varepsilon \to 0)[/mm]
Frage: Hat das einen Einfluss auf den Gradienten? Wenn ja, welchen?
[mm] f_2_y (0,0) = 0 [/mm]
[mm] f_2_y (x,y) = \bruch{-2y(1 - \bruch{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})}{\wurzel[3]{x^2 + y^2}}[/mm]
Analog zu [mm] f_2_x [/mm] kann man auch für [mm] f_2_y [/mm] nicht-stetig im Nullpunkt zeigen. Ich bin mir hier absolut unsicher, ob man den Gradienten aufstellen kann - und wenn ja, wie. Hier ein Vorschlag von mir:
[mm]gradf_2 = \begin{cases} (\bruch{2x( 1 - \bruch{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})}{\wurzel[3]{x^2 + y^2}},\bruch{-2y(1 - \bruch{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})}{\wurzel[3]{x^2 + y^2}}), & \mbox{für} (x,y) \not= (0,0) \\ (0,0), & \mbox{für} (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
[mm] f_1:
[/mm]
x = [mm] (x_1 [/mm] , ... , [mm] x_n)
[/mm]
[mm]f_1(x) = \bruch{1}{\parallel x \parallel^3} = \bruch{1}{\wurzel{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}^3} = (\bruch{1}{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2})^{\bruch{3}{2}}[/mm]
Substituiere festes [mm] x_i [/mm] durch [mm] x_i [/mm] = a:
[mm]f_1_a (x) = (\bruch{1}{a + x_1^2 + ... + x_{i-1}^2 + x_{i+1}^2 + ... + x_n})_a^{\bruch{3}{2}} = \bruch{3}{2} ln|a + x_1^2 + ... + x_n^2|(\bruch{1}{a + x_1^2 + ... + x_n^2})^{\bruch{1}{2}} = \bruch{3}{2} ln|\summe_{i=1}^{n} x_i^2|(\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n} x_i^2})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Die Resubstitution habe ich hier mal fließend eingebaut. Ich hoffe, es ist so sauber notiert. Wichtiger wäre allerdings, wenn die Differentiation korrekt wäre. Und da bin ich mir leider alles andere als sicher.
Irritierend hierbei, dass alle n Einträge des Gradienten identisch wären.
So, danke dem Leser, der bis hierhin durchgehalten hat. Vielleicht schreibt mir ja auch der ein oder andere etwas zu meinem Beitrag. 
Danke im Voraus dem/den Helfer(n) und schöne Grüße,
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Fr 22.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu f1:
[mm] ((x^2+konst)^{-3/2})' =-3/2*(x^2+kons)^{-5/2}*2x
[/mm]
da kommt nirgends ein ln vor.
f4. f3 richtig
f2 da taucht plotzlich ne [mm] \wurzel[2]{} [/mm] auf. aber
[mm] (\wurzel[3]{x^2+y^})_x=((x^2+y^2)^{1/3})'=1/3*(x^2+y^2)^{-2/3}
[/mm]
Die partielle Ableitung muss nicht stetig sein, aber bei (0,0) existieren!
(die fkt sollte in (0,0)stetig sein (das ist sie.)
wieso schreibst du [mm] f_x=0 [/mm] wenn du dann zeigst es it [mm] \ne [/mm] 0?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Mo 25.05.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Bei der einen Aufgabe habe ich doch die innere Ableitung integriert anstatt zu differenzieren. Unfassbarer Fehler. ^^
Ich setze mich morgen vormittag noch einmal intensiv mit deinen Hinweisen auseinander. Falls sich dann noch Fragen ergeben, melde ich mich wieder.
Danke soweit für deine Mühe, leduart!
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