Gradientenfelder < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 So 01.08.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen [mm] f_{i}:\IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] sind Gradientenfelder?
Bestimmen Sie entweder eine Funktion [mm] \phi_{i}:\IR^{2} \to \IR [/mm]
mit [mm] f_{i}= grad\phi_{i}, [/mm] oder finden Sie eine geschlossene Kurve [mm] \gamma_{i} [/mm] mit [mm] \integral_{\gamma_{i}}^{}{f_{i}(x) dx} \not= [/mm] 0.
[mm] (a)f_{1}(x,y) =(2xy-y^{2},x^{2}-2xy)
[/mm]
[mm] (b)f_{2}(x,y) [/mm] =(x,xy)
[mm] (c)f_{3}(x,y) =(e^{-y},-xe^{-y})
[/mm]
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Hallo,
die Lösung zu (a) lautet (die Lösung zu dieser Aufgabe wurde von einem Lösungsvorschlagsblatt übernommen):
Für [mm] v=\vektor{x \\ y} [/mm] sei [mm] \gamma_{v}:[0,1]\to \IR^{2} [/mm] die Kurve mit [mm] \gamma_{v}(t)=tv. [/mm] Es ist [mm] f_{1}=grad\phi_{1} [/mm] mit
[mm] \phi(v) =\integral_{\gamma_{v}}^{}{f_{1} dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{f_{1}\gamma_{v}'dt}=\integral_{0}^{1}{(2xyt^{2}-y^{2}t^{2},x^{2}t^{2}-2xyt^{2})\vektor{x \\ y}dt}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{(2x^{2}y-xy^{2}+x^{2}y-2xy^{2})t^{2}dt}=
[/mm]
[mm] x^{2}y-xy^{2}.
[/mm]
Meine Fragen dazu sind :
(i) anstatt [mm] \phi(v) [/mm] muss [mm] \phi_{1}(v) [/mm] stehen ? (Ich vermute, dass da ein Tippfehler ist)
(ii) wie kommt man auf [mm] \integral_{0}^{1}{(2xyt^{2}-y^{2}t^{2},x^{2}t^{2}-2xyt^{2})\vektor{x \\ y}dt}, [/mm] insbesondere woher kommt [mm] t^{2} [/mm] ?
Gruß
Igor
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Hallo Igor1,
> Welche der folgenden Funktionen [mm]f_{i}:\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
> sind Gradientenfelder?
> Bestimmen Sie entweder eine Funktion [mm]\phi_{i}:\IR^{2} \to \IR[/mm]
> mit [mm]f_{i}= grad\phi_{i},[/mm] oder finden Sie eine geschlossene
> Kurve [mm]\gamma_{i}[/mm] mit [mm]\integral_{\gamma_{i}}^{}{f_{i}(x) dx} \not=[/mm]
> 0.
> [mm](a)f_{1}(x,y) =(2xy-y^{2},x^{2}-2xy)[/mm]
> [mm](b)f_{2}(x,y)[/mm]
> =(x,xy)
> [mm](c)f_{3}(x,y) =(e^{-y},-xe^{-y})[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> die Lösung zu (a) lautet (die Lösung zu dieser Aufgabe
> wurde von einem Lösungsvorschlagsblatt übernommen):
> Für [mm]v=\vektor{x \\ y}[/mm] sei [mm]\gamma_{v}:[0,1]\to \IR^{2}[/mm] die
> Kurve mit [mm]\gamma_{v}(t)=tv.[/mm] Es ist [mm]f_{1}=grad\phi_{1}[/mm] mit
> [mm]\phi(v) =\integral_{\gamma_{v}}^{}{f_{1} dx}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f_{1}\gamma_{v}'dt}=\integral_{0}^{1}{(2xyt^{2}-y^{2}t^{2},x^{2}t^{2}-2xyt^{2})\vektor{x \\ y}dt}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(2x^{2}y-xy^{2}+x^{2}y-2xy^{2})t^{2}dt}=[/mm]
> [mm]x^{2}y-xy^{2}.[/mm]
>
> Meine Fragen dazu sind :
> (i) anstatt [mm]\phi(v)[/mm] muss [mm]\phi_{1}(v)[/mm] stehen ? (Ich vermute,
> dass da ein Tippfehler ist)
Da vermutest Du richtig.
> (ii) wie kommt man auf
> [mm]\integral_{0}^{1}{(2xyt^{2}-y^{2}t^{2},x^{2}t^{2}-2xyt^{2})\vektor{x \\ y}dt},[/mm]
> insbesondere woher kommt [mm]t^{2}[/mm] ?
>
Da es sich bei [mm]x\left(t\right), \ y\left(t\right)[/mm] um lineare Funktionen handelt,
beinhalten die Produkte [mm]x\left(t\right)*y\left(t\right), \ x^{2}\left(t\right), \ y^{2}\left(t\right)[/mm] stets [mm]t^{2}[/mm].
>
> Gruß
> Igor
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 So 01.08.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo ,
du meinst, daß man x-Werte als Werte der folgenden Funktion dartellen kann x(t): [mm] \IR \to \IR [/mm] , t [mm] \mapsto [/mm] x(t) ?
Z.B: x=5 könnte man dann als x(t)=x=5 für ein geeignetes t dartellen?
Haben wir noch mehr Information über die Funktion x(t) als die obige Definition?
Wenn nicht, warum kann man sagen(aus der oben gegebenen Information),daß x(t) eine lineare Funktion ist?
Oder , du meinst , daß man eine Funktion finden kann, die linear ist und
man mit deren Hilfe jedes x per x(t)=x dartellen kann (t [mm] \in [/mm] [0,1])?
Wenn ja, welche Funktion kommt in Frage ?
Gruß
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo ,
>
> du meinst, daß man x-Werte als Werte der folgenden
> Funktion dartellen kann x(t): [mm]\IR \to \IR[/mm] , t [mm]\mapsto[/mm] x(t)
> ?
Ja.
> Z.B: x=5 könnte man dann als x(t)=x=5 für ein geeignetes
> t dartellen?
> Haben wir noch mehr Information über die Funktion x(t)
> als die obige Definition?
> Wenn nicht, warum kann man sagen(aus der oben gegebenen
> Information),daß x eine lineare Funktion ist?
Gemäß der Lösung kommt wurde die Kurve so gewählt:
[mm]\Phi_{1}\left(t\right)=t*v[/mm]
,wobei [mm]v=\pmat{x \\ y}[/mm] ein konstanter Vektor ist.
Damit ist die Kurve [mm]\Phi_{1}\left(t\right)[/mm] linear,
da t nur in erster Potenz vorkommt. Daraus ergibt sich,
daß die Funktionen [mm]x\left(t\right), \ y\left(t\right)[/mm]
ebenfalls linear sind, da
[mm]\Phi_{1}\left(t\right)=\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right}[/mm]
> Oder , du meinst , daß man eine Funktion finden kann, die
> linear ist und
> man mit deren Hilfe jedes x per x(t)=x dartellen kann (t
> [mm]\in[/mm] [0,1])?
> Wenn ja, welche Funktion kommt in Frage ?
>
> Gruß
> Igor
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 So 01.08.2010 | | Autor: | Igor1 |
Bemerkung: die Kurve wurde mit [mm] \gamma_{v} [/mm] bezeichnet
(nur damit es zu keiner Verwechselung mit der Funktion [mm] \phi_{1} [/mm] kommt )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 01.08.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
[mm] \gamma_{v}= tv=\vektor{tx \\ ty} [/mm] . Warum ist [mm] \vektor{tx \\ ty} [/mm] =
[mm] \vektor{x(t) \\ y(t)} [/mm] ?
Gruß
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo,
>
> [mm]\gamma_{v}= tv=\vektor{tx \\ ty}[/mm] . Warum ist [mm]\vektor{tx \\ ty}[/mm]
> =
> [mm]\vektor{x(t) \\ y(t)}[/mm] ?
Wenn Du eine Kurve im [mm]\IR^{2}[/mm]parametrisierst,
dann hast Du in der Regel ein x-y-Koordinatensystem.
Und jede dieser Achsen kannst Du parametrisieren.
Daher ist
[mm]\gamma_{v}\left(t\right)=\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right)}[/mm]
>
> Gruß
> Igor
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 01.08.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
In unserem Fall ist die lineare Funktion [mm] \gamma_{v}(t) [/mm] = [mm] \vektor{x(t) \\ y(t)} [/mm] genau dann linear , wenn ihre Komponenten-Funktionen linear sind?
Warum? Weil das die Definition für vektorwertige lineare Funktionen ist?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Mo 02.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Wo ist eigentlich Dein Problem ? Es wurde doch definiert:
$ [mm] \gamma_{v}(t)=tv [/mm] $,
somit
$ [mm] \gamma_{v}(t)=tv= t\vektor{x \\ y}= \vektor{tx \\ ty} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 02.08.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe nicht verstanden, warum daraus die Linearität von x(t), y(t) folgt.
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Mo 02.08.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Igor,
$ [mm] \gamma_{v}:[0,1]\to \IR^{2} [/mm] $, $ [mm] \gamma_{v}(t) [/mm] $ = $ [mm] \vektor{x(t) \\ y(t)} [/mm] $ beschreibt allgemein eine Kurve. An dieser Stelle kann man noch nicht sagen, ob die Parametrisierung linear ist, oder welche sonstige Eigenschaften sie hat. Mit $ [mm] v=\vektor{x \\ y} [/mm] $ und $ [mm] \gamma_{v}(t)=tv. [/mm] $ kann man zeigen, dass $ [mm] \gamma_{v}$ [/mm] linear ist.
$ [mm] \gamma_{v}(t)=tv [/mm] = [mm] \vektor{tx \\ ty}$ [/mm]
Gruß meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mo 02.08.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich möchte nicht wissen, ob [mm] \gamma_{v} [/mm] linear ist (sie ist linear, siehe
posting von MathePower), sondern ich möchte wissen, ob x(t) linear ist(insbesondere wie man das zeigen kann; MathePower hat mir gesagt, daß x(t) linear wegen [mm] \gamma_{v}(t)= \vektor{x(t) \\ y(t)} (\gamma_{v}linear)ist. [/mm] Wie kann man das zeigen,daß x(t) wegen [mm] \gamma_{v}(t)= \vektor{x(t) \\ y(t)} (\gamma_{v} [/mm] linear) linear ist?)
P.S: Kann es sein, daß Du x(t) anstatt [mm] \gamma_{v} [/mm] gemeint hast (im Satz "... man kann zeigen, daß [mm] \gamma_{v} [/mm] linear ist" )?
Gruß
Igor
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> MathePower hat mir gesagt, daß x(t) linear wegen
> [mm]\gamma_{v}(t)= \vektor{x(t) \\ y(t)} (\gamma_{v}linear)ist.[/mm]
> Wie kann man das zeigen,daß x(t) wegen [mm]\gamma_{v}(t)= \vektor{x(t) \\ y(t)} (\gamma_{v}[/mm]
> linear) linear ist?)
Hallo,
für einen festen Vektor [mm] v:=\vektor{x\\y} [/mm] wurde definiert [mm] \gamma_v(t):=\vektor{x*t\\y*t}.
[/mm]
Vielleicht bist Du bzgl. x(t) und y(t) auf dem falschen Trip:
x(t) ist hier einfach die erste Komponente von [mm] \gamma_v(t), [/mm] also ist x(t):=x*t, ich nenne das jetzt lieber mal um in [mm] (\gamma_v)_1(t):=x*t, [/mm] und daran, daß dies linear ist, wirst Du wohl nicht zweifeln. Das x ist hier fest, und nicht irgendwie eine Funktion von t.
Gruß v. Angela
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