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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 So 22.05.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe 1 | Hallo, liebe Mathefreaks!
Ich habe hier zwei Aufgaben, die mit konservativen Feldern bzw. Potentialen bzw. Gradientenfeldern zu tun haben. Wäre nett, wenn ihr mir da helfen könntet!
Es sei [mm] (f_1,f_2) [/mm] ein stetig differenzierbares Vektorfeld im [mm] \IR^2\backslash\left{0\right\}, [/mm] das die Integrabilitätsbedingung [mm] \frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x} [/mm] erfüllt. Zeigen Sie, dass es ein [mm] c\in \IR [/mm] gibt, sodass das folgende Vektorfeld konservativ ist:
[mm] \left(f_1(x,y)-c\frac{y}{x^2+y^2},f_2(x,y)+c\frac{x}{x^2+y^2}\right). [/mm] |
| Aufgabe 2 | Für welche stetig differenzierbaren Funktion [mm] g,h:\IR\to \IR [/mm] ist
[mm] f(x,y):=(g(y),h(x)) [/mm]
ein Gradientenfeld im [mm] \IR^2 [/mm] ?
Bestimmen Sie für diese f eine Stammfunktion. |
Meine Ideen zu Aufgabe 1:
Ein Vektorfeld ist doch konservativ, wenn die Rotation=0 ist - oder?
Wäre das ein Ansatz?
Dass man also für das Vektorfeld [mm] g(a,b)=\left(\underbrace{f_1(x,y)-c\frac{y}{x^2+y^2}}_{=a},\underbrace{f_2(x,y)+c\frac{x}{x^2+y^2}}_{=b}\right)
[/mm]
rot(g) ausrechnet?...
Würde dann nicht (wenn man das Vektorfeld in ein dreidimensionales Vektorfeld g(x,y,z) einbettet) herauskommen:
rot [mm] g(x,y,z)=\left(0,0,\frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y}\right)
[/mm]
Ich weiß nicht, vielleicht bringt einen das weiter...
Meine Ideen zu Aufgabe 2:
f(x,y) ist doch genau dann Gradientenfeld, wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, wenn also gilt:
[mm] \frac{\partial g(y)}{\partial y}=\frac{\partial h(x)}{\partial x} [/mm] - oder??
Das bedeutet doch, wenn g'(y)=h'(x)
Kann man daraus jetzt irgendwas für die Funktionen g,h schließen??...
Bin echt ratlos..
rot
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 So 22.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, liebe Mathefreaks!
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> Ich habe hier zwei Aufgaben, die mit konservativen Feldern
> bzw. Potentialen bzw. Gradientenfeldern zu tun haben. Wäre
> nett, wenn ihr mir da helfen könntet!
>
>
>
> Es sei [mm](f_1,f_2)[/mm] ein stetig differenzierbares Vektorfeld im
> [mm]\IR^2\backslash\left\{0\right\},[/mm] das die
> Integrabilitätsbedingung [mm]\frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x}[/mm]
> erfüllt. Zeigen Sie, dass es ein [mm]c\in \IR[/mm] gibt, sodass das
> folgende Vektorfeld konservativ ist:
>
> [mm]\left(f_1(x,y)-c\frac{y}{x^2+y^2},f_2(x,y)+c\frac{x}{x^2+y^2}\right).[/mm]
> Für welche stetig differenzierbaren Funktion [mm]g,h:\IR\to \IR[/mm]
> ist
>
> [mm]f(x,y):=(g(y),h(x))[/mm]
>
> ein Gradientenfeld im [mm]\IR^2[/mm] ?
> Bestimmen Sie für diese f eine Stammfunktion.
> Meine Ideen zu Aufgabe 1:
>
> Ein Vektorfeld ist doch konservativ, wenn die Rotation=0
> ist - oder?
Nein, wenn es ein Gradientenfeld ist. Das Verschwinden der Rotation ist immer notwendig, aber hinreichend nur, wenn das Feld auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiert ist. Nun ist [mm]\IR^2\backslash\left\{0\right\}[/mm] definitiv nicht einfach zusammenhängend.
> Wäre das ein Ansatz?
> Dass man also für das Vektorfeld
> [mm]g(a,b)=\left(\underbrace{f_1(x,y)-c\frac{y}{x^2+y^2}}_{=a},\underbrace{f_2(x,y)+c\frac{x}{x^2+y^2}}_{=b}\right)[/mm]
>
> rot(g) ausrechnet?...
> Würde dann nicht (wenn man das Vektorfeld in ein
> dreidimensionales Vektorfeld g(x,y,z) einbettet)
> herauskommen:
>
> rot [mm]g(x,y,z)=\left(0,0,\frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y}\right)[/mm]
Nein, du darfst die Dimensionen nicht durcheinanderwürfeln. Die Entsprechung der Rotation (die ein dreidimensionales Konzept ist) eines Vektorfeldes [mm] $\vektor{a\\b}[/mm] [/mm] im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist
[mm] \frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y} [/mm]
Siehst du die Ähnlichkeit mit der Integrabilitätsbedingung?
Du kannst erst einmal prüfen, dass die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist (notwendige Bedingung). Dann musst du versuchen, das Vektorfeld zu integrieren.
> Meine Ideen zu Aufgabe 2:
>
> f(x,y) ist doch genau dann Gradientenfeld, wenn die
> Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, wenn also gilt:
Hier ist die Aussage richtig, denn es geht um ein Vektorfeld auf ganz [mm] $\IR^2$, [/mm] der einfach zusammenhängend ist.
> [mm]\frac{\partial g(y)}{\partial y}=\frac{\partial h(x)}{\partial x}[/mm]
> - oder??
>
> Das bedeutet doch, wenn g'(y)=h'(x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann man daraus jetzt irgendwas für die Funktionen g,h
> schließen??...
x und y sind unabhängige Variablen, insbesondere muss die Gleichung für beliebige Werte von x und y gelten. Was folgt daraus?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 22.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Bis hierhin ein großes Dankeschön!
Aufgabe 2 sollte damit gelöst sein.
Damit f(x,y) Gradient ist, müssen g,h von der Form
[mm] g(y)=cy+d_1
[/mm]
[mm] h(x)=cx+d_2
[/mm]
sein, wobei [mm] c,d_1,d_2 [/mm] Konstanten sind.
Eine Stammfunktion ist dann
[mm] x(cy+d_1)+d_2y
[/mm]
Zu Aufgabe 1:
Ich will also als erstes prüfen, ob für das gegebene Vektorfeld die Integrabilitätsbedingung gilt und ich komme dabei auf:
[mm] \frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y}-\frac{c\cdot (y^2-x^2)}{(y^2+x^2)^2}=\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x}-\frac{c\cdot (x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} [/mm]
Auf jeden Fall gilt ja schonmal
[mm] \frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x} [/mm] nach Voraussetzung.
Aber gilt auch:
[mm] -\frac{c\cdot(y^2-x^2)}{(y^2+x^2)^2}=-\frac{c\cdot(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} [/mm]??
Da komme ich jetzt nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mo 23.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bis hierhin ein großes Dankeschön!
>
> Aufgabe 2 sollte damit gelöst sein.
>
> Damit f(x,y) Gradient ist, müssen g,h von der Form
>
> [mm]g(y)=cy+d_1[/mm]
> [mm]h(x)=cx+d_2[/mm]
>
> sein, wobei [mm]c,d_1,d_2[/mm] Konstanten sind.
> Eine Stammfunktion ist dann
>
> [mm]x(cy+d_1)+d_2y[/mm]
oder auch, etwas symmetrischer geschrieben: [mm]cxy +d_1x+d_2y[/mm] .
> Zu Aufgabe 1:
>
> Ich will also als erstes prüfen, ob für das gegebene
> Vektorfeld die Integrabilitätsbedingung gilt und ich komme
> dabei auf:
>
> [mm]\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y}-\frac{c\cdot (y^2-x^2)}{(y^2+x^2)^2}=\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x}-\frac{c\cdot (x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
Vorsicht! Das Vorzeichen des zweiten Terms auf der linken Seite stimmt nicht:
[mm]\bruch{\partial}{\partial y} c\bruch{-y}{x^2+y^2} = \red{+}c \bruch{y^2-x^2}{(y^2+x^2)^2} [/mm]
>
> Auf jeden Fall gilt ja schonmal
>
> [mm]\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x}[/mm]
> nach Voraussetzung.
Richtig. Damit hast du aber auf jeden Fall, dass die Integrabitlitätsbdingung für $c=0$ erfüllt ist 
> Aber gilt auch:
>
> [mm]-\frac{c\cdot(y^2-x^2)}{(y^2+x^2)^2}=-\frac{c\cdot(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} [/mm]??
Wie gesagt, das Vorzeichen links ist falsch. Wenn es so wäre, wie du schreibst, dann wäre nur $c=0$ möglich.
Versuch dochmal, das Feld (ohne [mm] $f_1,f_2)$) [/mm] zu integrieren, das ist gar nicht so schwer.
Viele Grüße
Rainer
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