Gram-Schmidt (dringend) < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:13 So 29.01.2012 | | Autor: | black_jaguar |
| Aufgabe | [mm] M:=\pmat{1&1/2&1/3\\ 1/2&1/3&1/4\\ 1/3&1/4&1/5} [/mm] ist gegeben
in IR
b) Es sei P2 der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm] \le2 [/mm] mit Standardbasis B2 := (1; x; x2). Da M
symmetrisch und positiv de nit ist, de niert M ein Skalarprodukt < .,. >M auf P2,wie in De nition 4.9 (Skript: http://dl.dropbox.com/u/4076024/Lineare%20Algebra%201%20Skript.pdf). Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von P2 bezüglich < .,. >M. |
Wenn ich richtig verstanden hab fängt meine Lösung folgender massen an:
Aus def 4.9 folgt:
<1,1>:=A[11]=1
<1,x>=<x,1>:=A[12]=A[21]=1/2
[mm] <1,x^2>=...
[/mm]
[mm] =...
[/mm]
<x,x>:=A[22]=1/3
[mm] :=A[33]=1/5
[/mm]
Dann soll ich vermtlich das Grammschmittverfahren anwenden damit ich die O-N-basis herausfinde, aber ich weis nicht wie ich es mache , ich kenn die definition von Grammschmitt. Mein problemm bei der Aufgabe ist was ich als v[1],v[2],v[3] vektor hole und was als w[1],w[2],w[3] vektor
Grammschmitt:<v[1],v[1]>M=?
v[2]=w[1]-((<v[1],w[1]M) /<v[1],v[1]>M)*v[1]
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Moment, erst jetzt fällt mir auf, dass man deine Angabe missverstehen könnte;
Es ist also eine Orthonormal-Basis vom Vektorraum [mm] $P_2$ [/mm] der Polynome durch Vektoren aus M anzugeben? Wenn ja, wieso musstest du dann die Standardbasis angeben?
Kannst du nochmal klar definieren, was du zu tun hast? Dann kann ich dir auch weiterhelfen!
Gruß,
Clemenum
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Das ist ja auch mein problemm , ich hab nen ansatz , weiß aber nicht ob er stimmt und klar definieren was ich zu tun hätte kann ich nicht, sonst hätte ich ja auch nicht ins Forum posten müssen
es kann aber auch genausogut sein das mein Ansatz folkommender misst ist.
ps wie schreibt man die buchstaben als index , dann verbessere ich meine Aufgabenstellung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hol mir sicher keinen ganzen pdf file um eine Def. eines Skalarproduktes zu wissen . Fang mit einem der Vektoren 1 ,x , [mm] x^2 [/mm] an, normier ihn wahrscheinlich ist 1 schon normiert mit deiner Norm ; dann wende Gram-Schmitt auf x an un konstruiere einen Vektor w senkrecht zu 1, aus 1 und x so dass <1,w>=0 in dem definierten Skalarprodukt, usw einfach das übliche GS Verfahren, wobei du das mir unbekannte im skript def. Skalarprodukt benutzt
Gruss leduart
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Der Skript öfnet sich ganz normal im Browserfenster!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mir sagt der link ich soll ca 1MB hochladen
Gruss leduart
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Zum einen finde ich ein MB nicht würklich groß, zum anderen wenn du den link in den browser rüberkopierts öffnet er sich zimmlich schnell und der satz ist echt schnell zu finden und ist zimmlich kurz!Wenn du dazu keine Lust hast dann lass es auch sein!
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> [mm]M:=\pmat{1&1/2&1/3\\
1/2&1/3&1/4\\
1/3&1/4&1/5}[/mm] ist
> gegeben
> in IR
>
> b) Es sei P2 der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad
> [mm]\le2[/mm] mit Standardbasis B2 := (1; x; x2). Da M
> symmetrisch und positiv de nit ist, de niert M ein
> Skalarprodukt < .,. >M auf P2,wie in De nition 4.9 (Skript:
> http://dl.dropbox.com/u/4076024/Lineare%20Algebra%201%20Skript.pdf).
> Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von P2 bezüglich < .,.
> >M.
>
> Wenn ich richtig verstanden hab fängt meine Lösung
> folgender massen an:
> Aus def 4.9 folgt:
> <1,1>:=A[11]=1
> <1,x>=<x,1>:=A[12]=A[21]=1/2
> [mm]<1,x^2>=...[/mm]
> [mm]=...[/mm]
> <x,x>:=A[22]=1/3
> [mm]:=A[33]=1/5[/mm]
>
> Dann soll ich vermtlich das Grammschmittverfahren anwenden
> damit ich die O-N-basis herausfinde, aber ich weis nicht
> wie ich es mache , ich kenn die definition von
> Grammschmitt. Mein problemm bei der Aufgabe ist was ich als
> v[1],v[2],v[3] vektor hole und was als w[1],w[2],w[3]
> vektor
>
> Grammschmitt:<v[1],v[1]>M=?
> v[2]=w[1]-((<v[1],w[1]m) <v[1],v[1]="">M)*v[1]
Hallo,
leider ist es gerade etwas unruhig, die Herren Gram und Schmidt in ihren Gräbern rotieren, weil Du ihre Namen verstümmelt hast. Mach sowas hinfort bitte nicht mehr.
Kommst Du aus der Moselgegend?
Der [mm] P_2 [/mm] ist ein VR der Dimension 3, die Standardbasis [mm] B_2:=(w_1:=1, w_2:=x, w_3:=x^2) [/mm] ist Dir gegeben, Du sollst nun eine ONB finden.
Das Gram-Schmidt-Verfahren ist hier eine gute Idee.
Ich beziehe mich auf Punkt 3 des entsprechenden Wikipedia-Artikels.
Wir haben [mm] w_1:=1, w_2:=x, w_3:=x^2.
[/mm]
Jetzt geht's los:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \frac{w_1}{\left\|w_1\right\|}=v_1 [/mm] = [mm] \frac{w_1}{\sqrt{_M}}\=\frac{1}{\sqrt{<1,1>_M}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1
[/mm]
Und nun weiter im Text:
[mm] v_2^\prime [/mm] = [mm] w_2 [/mm] - [mm] \langle v_1, w_2 \rangle_M \cdot v_1
[/mm]
=x - [mm] \langle [/mm] 1, x [mm] \rangle_M \cdot [/mm] 1=x [mm] -0.5\cdot [/mm] 1=x-0.5
Normieren: [mm] v_2=\bruch{v'_2}{\wurzel{_M}}== [/mm] ...
Beachte beim Versuch <x-0.5, x-0.5>_M zu berechnen die Eigenschaften des Skalarproduktes.
Dann noch der letzte Vektor.
LG Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:45 So 29.01.2012 | | Autor: | black_jaguar |
Wie berechne ich den Skalar aus polynom?
ist das hier richtig: [mm] =x-0,5/\wurzel{(x-0,5)*(x-0,5)}=x-0,5 [/mm] das wäre dan mein v[2] stimmt das?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:12 So 29.01.2012 | | Autor: | black_jaguar |
| Aufgabe | | Beachte beim Versuch <x-0.5, x-0.5>_M zu berechnen die Eigenschaften des Skalarproduktes. |
was meist du damit genauer?
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| Aufgabe | [mm] M:=\pmat{1&1/2&1/3\\ 1/2&1/3&1/4\\ 1/3&1/4&1/5} [/mm] ist gegeben
in IR
b) Es sei [mm] P_2 [/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm] \le2 [/mm] mit Standardbasis [mm] B_2 [/mm] := (1; x; x2). Da M
symmetrisch und positiv de nit ist, de niert M ein Skalarprodukt < .,. >_M auf [mm] P_2,wie [/mm] in De nition 4.9 (Skript: http://dl.dropbox.com/u/4076024/Lineare%20Algebra%201%20Skript.pdf). Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von [mm] P_2 [/mm] bezüglich < .,. >_M. |
Wenn ich richtig verstanden hab fängt meine Lösung folgender massen an:
" Aus def 4.9 folgt:
<1,1>:= $a_(11)$ =1
<1,x>=<x,1>:= $a_(12)$ = $a_(21)$ =1/2
[mm] <1,x^2>=:= [/mm] $a_(13)$ = $a_(31)$ =1/3
[mm] =:= [/mm] $a_(23)$ = $a_(32)$ =1/4
<x,x>:= $a_(22)$ =1/3
[mm] := [/mm] $a_(33)$ =1/5"
Stimmt das?
Dann Gram-Schmidt:
" v[1]=w[1]/||w[1]||=1
v´[2]=w[2]-<v[1],w[2]>*v[1]=x-<1,x>=x-0,5
v[2]= v´[2]/||v´[2]||= [mm] x-0,5/\wurzel((x-0,5)*(x-0,5))=x-0,5
[/mm]
[mm] v´[3]=w[3]-*v[1]-*v[2]=x^2-0,3-((x^3-x^2)(x-0,5))=x^4-1,5x^3+1,5x^2+0,3 [/mm]
[mm] v[3]=x^4-1,5x^3+1,5x^2+0,3 [/mm] "
Ist das richtig?
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> [mm]M:=\pmat{1&1/2&1/3\\
1/2&1/3&1/4\\
1/3&1/4&1/5}[/mm] ist
> gegeben
> in IR
>
> b) Es sei [mm]P_2[/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad
> [mm]\le2[/mm] mit Standardbasis [mm]B_2[/mm] := (1; x; x2). Da M
> symmetrisch und positiv de nit ist, de niert M ein
> Skalarprodukt < .,. >_M auf [mm]P_2,wie[/mm] in De nition 4.9
> (Skript:
> http://dl.dropbox.com/u/4076024/Lineare%20Algebra%201%20Skript.pdf).
> Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von [mm]P_2[/mm] bezüglich <
> .,. >_M.
>
>
>
> Wenn ich richtig verstanden hab fängt meine Lösung
> folgender massen an:
>
> " Aus def 4.9 folgt:
> <1,1>:= [mm]a_(11)[/mm] =1
> <1,x>=<x,1>:= [mm]a_(12)[/mm] = [mm]a_(21)[/mm] =1/2
> [mm]<1,x^2>=:=[/mm] [mm]a_(13)[/mm] = [mm]a_(31)[/mm] =1/3
> [mm]=:=[/mm] [mm]a_(23)[/mm] = [mm]a_(32)[/mm] =1/4
> <x,x>:= [mm]a_(22)[/mm] =1/3
> [mm]:=[/mm] [mm]a_(33)[/mm] =1/5"
>
> Stimmt das?
>
> Dann Gram-Schmidt:
> " v[1]=w[1]/||w[1]||=1
> v´[2]=w[2]-<v[1],w[2]>*v[1]=x-<1,x>=x-0,5
Hallo,
soweit richtig.
> v[2]= v´[2]/||v´[2]||=
> [mm]x-0,5/\wurzel((x-0,5)*(x-0,5))=x-0,5[/mm]
Die Normierung machst Du falsch.
Jegliches Skalarprodukt in der Aufgabe ist das durch M definierte.
Dieses mußt Du auch beim Normieren verwenden.
Es ist also [mm] \parallel x-0.5\parallel^2=
Jetzt verwendet man Eigenschaften des Skalarproduktes
=<x,x>_M-2<x,0.5>_M-2<x,0.5>_M+<0.5,0.5>_M
wieder Eigenschaften
=<x,x>_M-2*0.5*<x,1>_M+0.5*0.5<1,1>_M= ...
Das bekommst Du nun alleine hin.
>
> [mm]v´[3]=w[3]-*v[1]-*v[2]=x^2-0,3-((x^3-x^2)(x-0,5))=x^4-1,5x^3+1,5x^2+0,3[/mm]
> [mm]v[3]=x^4-1,5x^3+1,5x^2+0,3[/mm] "
>
> Ist das richtig?
Sicher nicht, dann es ist ja ein Polynom vom Grad 4, was in [mm] P_2 [/mm] nichts zu suchen hat.
Mir erschließt sich auch nicht ganz, was Du bei [mm] v_3 [/mm] getan hast.
Hinter dem ersten Gleichheitszeichen scheint noch alles richtig zu sein, aber was sonst passiert, ist mir rätselhaft - mal abgesehen davon, daß es wegen des verkehrten [mm] v_2 [/mm] nicht klappen kann.
Warum schreibst Du 0.3, wenn die richtige Zahl 1/3 ist?
Du mußt sogfältiger arbeiten, anscheinend verwechsest Du auch die Klammer fürs Skalarprodukt mit anderen.
Mach's einfach manierlich und mit den neuesten Erkenntnissen nochmal.
Du hast dann übrigens erst v'_3 und mußt noch normieren.
LG Angela
>
</v[1],w[2]></x,x></x,1>
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