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Hallo! Ich probiere mich gerade mit dem Gram Schmidt Verfahren anzufreunden. Aber irgendwie wird mir eines nicht so ganz schlau. Und zwar haben wir folgendes definiert:
Wir haben zwei Vektoren im [mm] \IR^2
[/mm]
[mm] v_1\vektor{3 \\ 1}, v_2=\vektor{2 \\ 2}
[/mm]
Erstes Verständnis Problem: Wie komme ich durch die Formel [mm] \bruch{v_1}{||v_1||} [/mm] bitte auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{10}}\*\vektor{3 \\ 1}???
[/mm]
Danke für eure Hilfe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Sa 05.01.2008 | | Autor: | alexwie |
Hallo domenigge!
Der betrag von [mm] $v_{1}$ [/mm] ist [mm] $\wurzel{3^2+1^2} [/mm] = [mm] \wurzel{10}$
[/mm]
Ich glaube das löst dein erstes Problem.
Das Gram-Schmidtsche Orthonarmailisierungverfahren funktioniert so:
Zuerst Normalisierst du den ersten vektor.
Für alle anderen (hier [mm] $v_{2}$) [/mm] machst du (in Worten) folgendes:
du ziehst von den jew. Vektoren alle Komponenten die dieselbe
"Richtung" haben wie die bereits errechneten ab. Somit steht dann der neue Vektor orthogonal auf die bisherigen (das bräuchte natürlich einen Beweis). dann dividierst du diesen neuen Vektor durch seinen Betrag und er ist normalisiert -> orthonormal.
Das ist aber nur eine anschauliche Erklärung.
die Komponente in richtung [mm] $v_{1}$ [/mm] von [mm] $v_{2}$ [/mm] ist:
[mm] $<\bruch{v_{1}}{\parallel v_{1} \parallel},v_{2}>\bruch{v_{1}}{\parallel v_{1} \parallel}$ [/mm] (<-,-> ist das Skalarprodukt)
Auf die Erklärung warum das so ist verzichte ihr hier kann sie ggf. aber noch nachreichen.
Im allgemeinen musst du alle komponenten abziehen d.h.:
1.schritt
$ [mm] u_{k+1} [/mm] = [mm] v_{k+1} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{k}b_{i}$ [/mm] wobei [mm] $b_{i}$ [/mm] der i-te bereits errechnete Vektor ist.
2.schritt
[mm] $b_{k+1}= \bruch{u_{k+1}}{\parallel u_{k+1} \parallel}$
[/mm]
[mm] $b_{k+1}$ [/mm] ist dann der neue Orthonormale Vektor
Ich hoffe das hilft dir.
Lg Alex
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