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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:09 So 21.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Kann mir mal jemand mal erklären wie ich hier eine Matrix einsetze.
Ich blicke da überhaupt nicht durch.
Step by Step erklärung!!!
Gruss Matrix
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> Kann mir mal jemand mal erklären wie ich hier eine Matrix
> einsetze.
> Ich blicke da überhaupt nicht durch.
> Step by Step erklärung!!!
Hallo,
Du hast vergessen, Deine konkrete Aufgabe inkl. Lösungsversuch zu posten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 So 21.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Ich wollte erstmal wissen wie ich eine Matrix hier einsetze mit dem Editor.
Ich werde da nicht schlau draus dann kann ich erst die Aufgabe stellen.
Das must doch ganz einfach sein oder?
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> Ich wollte erstmal wissen wie ich eine Matrix hier einsetze
> mit dem Editor.
Achso!
[mm] \pmat{1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12}
[/mm]
Klick auf "Quelltext", dann siehst Du, wie ich es gemacht habe.
Eingabehilfen für alles mögliche findest Du auch unter dem Eingabefenster.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 So 21.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Matrix, die den mehrfachen Eigenwert -3 besitzt.
BESTIMMEN SIE DIE DIMENSION UND EINE ORTHONORMALE BASIS DES ZU -3 GEHÖRIGEN EIGENRAUMES:
$ [mm] \pmat{1&-2&2\\0&-8&0\\0&0&0} [/mm] $ |
So als erstes:
(A-YE)= ( A+3E )
$ [mm] \pmat{-4&2&-2\\2&-7&4\\-2&4&-7} [/mm] $ +3mal
$ [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1} [/mm] $
als Ergebnis bekomme ich:
$ [mm] \pmat{-1&2&-2\\2&-4&4\\-2&4&-4} [/mm] $
jetz bringe ich die Matrix auf die Zeilenstufenform:
$ [mm] \pmat{1&-2&2\\0&-8&0\\0&0&0} [/mm] $
Der Rang ist 2. 3-2=1 die Dimension ist das Richtig?
Jetz weiss ich aber nicht wie es weiter geht, wie stelle ich die gleichungen auf?
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> Betrachten Sie die Matrix, die den mehrfachen Eigenwert -3
> besitzt.
> BESTIMMEN SIE DIE DIMENSION UND EINE ORTHONORMALE BASIS
> DES ZU -3 GEHÖRIGEN EIGENRAUMES:
>
> [mm]\pmat{1&-2&2\\0&-8&0\\0&0&0}[/mm]
Hallo,
prüfe die gepostete Matrix auf Tippfehler.
Sie hat nämlich nicht den Eigenwert -3.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 So 21.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Hey es geht mit der unteren Matrix los weiss garnicht wie die da zustande gekommen ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 So 21.03.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo Angela,
> > Betrachten Sie die Matrix, die den mehrfachen Eigenwert -3
> > besitzt.
> > BESTIMMEN SIE DIE DIMENSION UND EINE ORTHONORMALE BASIS
> > DES ZU -3 GEHÖRIGEN EIGENRAUMES:
> >
> > [mm]\pmat{1&-2&2\\0&-8&0\\0&0&0}[/mm]
>
> Hallo,
>
> prüfe die gepostete Matrix auf Tippfehler.
> Sie hat nämlich nicht den Eigenwert -3.
Die angegebene Matrix
[mm]\pmat{-4 & 2 & -2 \\ 2 & -7 & 4 \\ -2 & 4 & -7}[/mm]
hat aber den mehrfachen Eigenwert -3.
>
> Gruß v. Angela
Gruss
MathePower
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Hallo Matrix22,
> Betrachten Sie die Matrix, die den mehrfachen Eigenwert -3
> besitzt.
> BESTIMMEN SIE DIE DIMENSION UND EINE ORTHONORMALE BASIS
> DES ZU -3 GEHÖRIGEN EIGENRAUMES:
>
> [mm]\pmat{1&-2&2\\0&-8&0\\0&0&0}[/mm]
> So als erstes:
>
> (A-YE)= ( A+3E )
>
> [mm]\pmat{-4&2&-2\\2&-7&4\\-2&4&-7}[/mm] +3mal
> [mm]\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}[/mm]
> als Ergebnis bekomme ich:
> [mm]\pmat{-1&2&-2\\2&-4&4\\-2&4&-4}[/mm]
> jetz bringe ich die Matrix auf die Zeilenstufenform:
> [mm]\pmat{1&-2&2\\0&-8&0\\0&0&0}[/mm]
Die Zeilenstufenform muß hier lauten:
[mm]\pmat{1&-2&2\\0&\red{0}&0\\0&0&0}[/mm]
>
> Der Rang ist 2. 3-2=1 die Dimension ist das Richtig?
> Jetz weiss ich aber nicht wie es weiter geht, wie stelle
> ich die gleichungen auf?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 So 21.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Ja stimmt hat einen Fehler drin.
Kann ich jetz schon die Dimension ausrechnen.
Ich würde die Anzahl der Variablen minus den Rang , ist die Dimension dann 2?
Wie gehe ich jetz weiter vor muss ich hetz die vektoren bilden ich kenne mich sehr schlecht aus mit dem Gramm schmidverfahren wie gehe ich weiter vor?
Gruss
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> Ja stimmt hat einen Fehler drin.
> Kann ich jetz schon die Dimension ausrechnen.
> Ich würde die Anzahl der Variablen minus den Rang , ist
> die Dimension dann 2?
Hallo,
ja, genau.
>
> Wie gehe ich jetz weiter vor muss ich hetz die vektoren
> bilden ich kenne mich sehr schlecht aus mit dem Gramm
> schmidverfahren wie gehe ich weiter vor?
Der Gram würde sich grämen, sähe er, wie Du seinen Namen schreibst...
Auf das Gram-Schmidt-Verfahren mußt Du noch einen kleinen Augenblick warten:
erstmal brauchen wir eine Basis des Kerns von $ [mm] \pmat{1&-2&2\\0&0&0\\0&0&0} [/mm] $.
Das führende Zeilenelement (die führende 1) steht in der ersten Spalte.
Also kann man die zweite und dritte Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_3=s
[/mm]
und [mm] x_2=r
[/mm]
erhalten wir aus der 1. Zeile [mm] x_1-2x_2+2x_3=0
[/mm]
[mm] x_1=2r-2s.
[/mm]
Also haben die Elemente des Kerns die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{2r-2s\\r\\s}= r\vektor{2\\1\\0}+s\vektor{-2\\0\\1}.
[/mm]
Die beiden Vektoren sind eine Basis des Kerns von (A+3E), sie spannen den Eigenraum zum Eigenwert -3 auf.
Sie sind allerdings leider nicht senkrecht zueinander, wie Du durch Ausrechnen des Skalarproduktes feststellst.
Nun kommt der große Augenblick: wir orthogonalisieren jetzt mit Gram-Schmidt.
Ich nehme die Bezeichnungen aus dem entsprechenden Wikipedia-Artikel Punkt 1.
Die spitzen Klammern stehen dort für das Skalarprodukt.
Wir haben [mm] w_1:=\vektor{2\\1\\0} [/mm] und [mm] w_2:=\vektor{-2\\0\\1}.
[/mm]
Nun berechne streng nach der dortigen Vorschrift [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2.
[/mm]
Diese beiden Vektoren sind eine Orthogonalbasis des Eigenraums zum Eigenwert 3.
Wenn Du sie noch normierst, also durch ihre Länge teilst, hast Du die geforderte Orthonormalbasis.
Falls Du Rückfragen hast: alle Rechnungen mitposten zwecks Verfolgbarkeit.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 So 21.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
$ [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{2r-2s\\r\\s}= r\vektor{2\\1\\0}+s\vektor{-2\\0\\1}. [/mm] $
Hey,
kannste mir nochmal sagen wie man die beiden Vektoren da oben gebildet wurde ich habe da bischen probleme im Buch kann ich das auch schlecht nachvollziehen.
Mann muss ja dazu Gleichungen umstellen, haste jetz glaube ich ausgelassen oder?
Ich werde mal in Wiki den Herrn Gramm mal aus Studieren!
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> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{2r-2s\\r\\s}= r\vektor{2\\1\\0}+s\vektor{-2\\0\\1}.[/mm]
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> Hey,
> kannste mir nochmal sagen wie man die beiden Vektoren da
> oben gebildet wurde ich habe da bischen probleme im Buch
> kann ich das auch schlecht nachvollziehen.
Hallo,
von der ZSF zu [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{2r-2s\\r\\s} [/mm] hab ich ja gründlich vorgemacht.
Wenn Du nachlesen willst: es handelt sich um die Bestimmung des Kerns einer Matrix.
Nun zu dem von Dir Zitierten:
es ist [mm] \vektor{2r-2s\\r\\s}=\vektor{2r\\r\\0}+\vektor{-2s\\0\\s} \qquad [/mm] (also aufgespalten nach s und t)
= [mm] r\vektor{2\\1\\0}+s\vektor{-2\\0\\1} \qquad [/mm] (die beiden Faktoren vorgezogen)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 So 21.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
$ [mm] \vektor{-2\\1\\0}+1\vektor{2\\1\\0} \{0\\1\\0}qquad [/mm] $
Ist das so Richtig?
Die Normierung ist ja die 1/5 mal die beiden Vektoren.
Ehrlich gesagt weiss ich immer noch nicht wie man auf die Zahlen von den Beiden Vektoren gekommen ist kannste mir das in einem einfachen Satzbau erklären es ist ja schon spär!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 So 21.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Der vektor ist 0 1 0 hat nicht geklappt mit dem Editor.
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> [mm]\vektor{-2\\1\\0}+1\vektor{2\\1\\0} \{0\\1\\0}qquad[/mm]
Hallo,
falls [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] das Ergebnis [mm] v_2 [/mm] sein soll, ist das nicht richtig.
Du müßtest mal genau vorrechnen, damit man sieht, was Du tust und wo es hängt.
>
> Ist das so Richtig?
> Die Normierung ist ja die 1/5 mal die beiden Vektoren.
> Ehrlich gesagt weiss ich immer noch nicht wie man auf die
> Zahlen von den Beiden Vektoren gekommen ist kannste mir das
> in einem einfachen Satzbau erklären es ist ja schon
> spär!
Ich hab' das ja jetzt schon zweimal erklärt. Mir ist nicht ganz klar, an welcher Stelle Dein Problem liegt, das müßtest Du dann mal deutlicher herausarbeiten.
Rechne die Bestimmung des Kerns der Matrix doch mal so weit ausführlich vor, wie Du folgen kannst, und benenne dann konkret an der Stelle, an welcher es scheitert, Dein Problem.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Matrix22 |
Hey,
also gut habe es mir bei wikipedia durchgelesen und es ist mir ein Fehler unterlaufen.
W1= ( 2 1 0 ) W2 ( -2 0 1 )
V1=W2=$ [mm] \vektor{2\\1\\0}\qquad [/mm] $
V2=W2- (W2,V1/V1,V1)= (-2 0 1 ) + 4/5 * (2 1 0 ) = ( -2/5 4/5 1 )
Ist das so weit in Ordnung und was muss ich normieren die beiden Vektoren?
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Hallo Matrix22,
> Hey,
> also gut habe es mir bei wikipedia durchgelesen und es
> ist mir ein Fehler unterlaufen.
>
> W1= ( 2 1 0 ) W2 ( -2 0 1 )
>
> V1=W2=[mm] \vektor{2\\1\\0}\qquad[/mm]
>
> V2=W2- (W2,V1/V1,V1)= (-2 0 1 ) + 4/5 * (2 1 0 ) = ( -2/5
> 4/5 1 )
>
> Ist das so weit in Ordnung und was muss ich normieren die
> beiden Vektoren?
Das stimmt soweit.
Wie Du richtig vermutest, müssen jetzt die
beiden Vektoren normiert werden.
Gruss
MathePower
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