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Forum "Rationale Funktionen" - Graph gebr. rational. Funktion
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Graph gebr. rational. Funktion: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 So 15.01.2012
Autor: lim

Aufgabe
Ermitteln Sie anhand folgender Funktion die Nullstellen, Definitionsbereiche, Verhalten im Unendlichen, sowie das Monotonieverhalten. Zeichnen Sie den Graph.
$ [mm] f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2} [/mm] $

$ [mm] f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2} [/mm] $

Df= [mm] IR\backslash \{0\} [/mm]

Nullstellen:
(Die Nullstellen wurden dem Grpahen, welchen ich mir über MatheGrafix zeichnen habe lassen entnommen.)

Zähler: [mm] \approx [/mm] 0,32 -> VZW
Nenner: 0 -> Polstelle

$ [mm] \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty [/mm] $

Ableitung:

$ [mm] f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2} [/mm] $

$ [mm] u(x)=x^3+3x-1;u'(x)=3x^2+3 [/mm] $
$ [mm] v(x)=x^2;v'(x)=2x [/mm] $

$ [mm] f'(x)=\bruch{(3x^2+3)x^2-(x^3+3x-1)2x}{(x^2)^2}=\bruch{3x^4+3x^2-2x^4-6x^2+2x}{(x^4)}=\bruch{x^4-3x^2+2x}{x^4}=\bruch{x(x^3-3x+2)}{x(x^3)}=\bruch{x^3-3x+2}{x^3} [/mm] $

Nullstelle Ableitung: [mm] \{-2\} [/mm]

Monotonieverhalten:

]-oo ; -2] steigend
[-2 ; 0]   fallend
[0 ; +oo[  steigend, wobei kurzzeitig bei x=1 keine Steigung vorliegt.
Sagt man das so? :-)

Asymptotenberechnung durch Polynomdivision:

$ [mm] (x^3+3x-1):x^2=x+\frac{3x-1}{x^2} [/mm] $
y=x

Schneidet der Graph die Asymptote?

[mm] \bruch{x^3+3x-1}{x^2}=x [/mm]
[mm] x^3+3x-1=x^3 [/mm]
3x=1
[mm] x=\bruch{1}{3} [/mm]

Der Graph der Funktion schneidet die Asymptote bei [mm] x=\bruch{1}{3} [/mm]

Beweisen Sie, dass der Graph der Funktion oberhalb der Asymptote verläuft.

[mm] \bruch{x^3+3x-1}{x^2}+x [/mm] > 0
[mm] \bruch{x^3+3x-1}{x^2}+\bruch{x^3}{x^2}> [/mm] 0
[mm] \bruch{3x-1}{x^2}> [/mm] 0
-> Nenner ist immer positiv

Symmetrie

$ [mm] f(-x)=\frac{(-x)^3+3(-x)-1}{(-x)^2} [/mm] $ [mm] \not=$ f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2} [/mm] $

Ist nicht achsensymmetrisch.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Würde mich freuen, wenn ihr euch meine Berechnungen einmal anschauen könntet. :-)



        
Bezug
Graph gebr. rational. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 So 15.01.2012
Autor: MathePower

Hallo lim,

> Ermitteln Sie anhand folgender Funktion die Nullstellen,
> Definitionsbereiche, Verhalten im Unendlichen, sowie das
> Monotonieverhalten. Zeichnen Sie den Graph.
>  [mm]f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2}[/mm]
>  [mm]f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2}[/mm]
>
> Df= [mm]IR\backslash \{0\}[/mm]
>  
> Nullstellen:
>  (Die Nullstellen wurden dem Grpahen, welchen ich mir über
> MatheGrafix zeichnen habe lassen entnommen.)
>  
> Zähler: [mm]\approx[/mm] 0,32 -> VZW
>  Nenner: 0 -> Polstelle

>  
> [mm]\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty[/mm]
>  


[ok]


> Ableitung:
>  
> [mm]f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2}[/mm]
>
> [mm]u(x)=x^3+3x-1;u'(x)=3x^2+3[/mm]
>  [mm]v(x)=x^2;v'(x)=2x[/mm]
>  
> [mm]f'(x)=\bruch{(3x^2+3)x^2-(x^3+3x-1)2x}{(x^2)^2}=\bruch{3x^4+3x^2-2x^4-6x^2+2x}{(x^4)}=\bruch{x^4-3x^2+2x}{x^4}=\bruch{x(x^3-3x+2)}{x(x^3)}=\bruch{x^3-3x+2}{x^3}[/mm]
>  
> Nullstelle Ableitung: [mm]\{-2\}[/mm]
>


Die Ableitung hat noch eine reelle Nullstelle.


> Monotonieverhalten:
>  
> ]-oo ; -2] steigend
>  [-2 ; 0]   fallend
>  [0 ; +oo[  steigend, wobei kurzzeitig bei x=1 keine
> Steigung vorliegt.


Die 0 ist doch Polstelle, daher lauten die Intervalle:

[mm]f'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} >0 & x \in \left]-\infty,-2\right[ \\ <0 & x \in \left]-2,-0\right[ \\ >0 & x \in \left]0,\infty\right[\end{matrix} \right[/mm]


>  Sagt man das so? :-)
>  
> Asymptotenberechnung durch Polynomdivision:
>  
> [mm](x^3+3x-1):x^2=x+\frac{3x-1}{x^2}[/mm]
>  y=x
>  
> Schneidet der Graph die Asymptote?
>  
> [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}=x[/mm]
> [mm]x^3+3x-1=x^3[/mm]
>  3x=1
>  [mm]x=\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> Der Graph der Funktion schneidet die Asymptote bei
> [mm]x=\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> Beweisen Sie, dass der Graph der Funktion oberhalb der
> Asymptote verläuft.
>  
> [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}+x[/mm] > 0


Hier meinst Du wohl:

[mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}\blue{-}x > 0[/mm]


>  [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}+\bruch{x^3}{x^2}>[/mm] 0
>  [mm]\bruch{3x-1}{x^2}>[/mm] 0
>  -> Nenner ist immer positiv

>

Wichtig ist der Zähler.

Dieser ist größer 0, falls [mm]x> \bruch{1}{3}[/mm]


> Symmetrie
>  
> [mm]f(-x)=\frac{(-x)^3+3(-x)-1}{(-x)^2}[/mm] [mm]\not=[/mm]
> [mm]f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2}[/mm]
>
> Ist nicht achsensymmetrisch.

>


[ok]

  
>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Würde mich freuen, wenn ihr euch meine Berechnungen einmal
> anschauen könntet. :-)
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Graph gebr. rational. Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 So 15.01.2012
Autor: lim


>  >  
> > Nullstelle Ableitung: [mm]\{-2\}[/mm]
>  >

>
>
> Die Ableitung hat noch eine reelle Nullstelle.

Meinst du damit die Nullstelle im Nenner?
Falls ja wäre diese 0.
Also im Zähler -2 und im Nenner 0.


> > Monotonieverhalten:
>  >  
> > ]-oo ; -2] steigend
>  >  [-2 ; 0]   fallend
>  >  [0 ; +oo[  steigend, wobei kurzzeitig bei x=1 keine
> > Steigung vorliegt.
>  
>
> Die 0 ist doch Polstelle, daher lauten die Intervalle:
>  
> [mm]f'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} >0 & x \in \left]-\infty,-2\right[ \\ <0 & x \in \left]-2,-0\right[ \\ >0 & x \in \left]0,\infty\right[\end{matrix} \right[/mm]

Stimmen die Klammern bei mir nicht?
Es geht mir speziell um -2 und 0, denn ich habe die Klammern ja anderst gesetzt.
Kannst du mir bitte kurz erklären warum die so nicht stimmen?


> Hier meinst Du wohl:

Ja genau! :-)

> [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}\blue{-}x > 0[/mm]
>  
>
> >  [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}+\bruch{x^3}{x^2}>[/mm] 0

>  >  [mm]\bruch{3x-1}{x^2}>[/mm] 0
>  >  -> Nenner ist immer positiv

>  >

>
> Wichtig ist der Zähler.
>  
> Dieser ist größer 0, falls [mm]x> \bruch{1}{3}[/mm]

Danke für deine Hilfe!


Bezug
                        
Bezug
Graph gebr. rational. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 So 15.01.2012
Autor: MathePower

Hallo lim,

> >  >  

> > > Nullstelle Ableitung: [mm]\{-2\}[/mm]
>  >  >

> >
> >
> > Die Ableitung hat noch eine reelle Nullstelle.
>  
> Meinst du damit die Nullstelle im Nenner?
>  Falls ja wäre diese 0.
>  Also im Zähler -2 und im Nenner 0.
>  


Ich meine hier schon den Zähler.


>
> > > Monotonieverhalten:
>  >  >  
> > > ]-oo ; -2] steigend
>  >  >  [-2 ; 0]   fallend
>  >  >  [0 ; +oo[  steigend, wobei kurzzeitig bei x=1 keine
> > > Steigung vorliegt.
>  >  
> >
> > Die 0 ist doch Polstelle, daher lauten die Intervalle:
>  >  
> > [mm]f'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} >0 & x \in \left]-\infty,-2\right[ \\ <0 & x \in \left]-2,-0\right[ \\ >0 & x \in \left]0,\infty\right[\end{matrix} \right[/mm]
>  
> Stimmen die Klammern bei mir nicht?
>  Es geht mir speziell um -2 und 0, denn ich habe die
> Klammern ja anderst gesetzt.
>  Kannst du mir bitte kurz erklären warum die so nicht
> stimmen?
>  


Die linke Klammer ist richtig.
Die rechte Klammer ist nicht richtig,
da 0 eine Polstelle ist,  und ist daher vom Monotoniebereich auszuschliessen.


[mm]f'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} >0 & x \in \left]-\infty,-2\right[ \\ <0 & x \in \left]-2,-0\right[ \\ >0 & x \in \left]0,\infty\right[\end{matrix} \right[/mm]

Da hier nur ">" bzw. "<" vorkommen, handelt es sich um strenge Monotonie.

Im Fall  der "normalen" Monotonie muss hier stehen:

[mm]f'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} \blue{\ge} 0& x \in \left]-\infty,-2\right\blue{]} \\ \blue{\le}0 & x \in \left\blue{[}-2,-0\right[ \\ \blue{\ge}0 & x \in \left]0,\infty\right[\end{matrix} \right[/mm]


>
> > Hier meinst Du wohl:
>  
> Ja genau! :-)
>  
> > [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}\blue{-}x > 0[/mm]
>  >  
> >
> > >  [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}+\bruch{x^3}{x^2}>[/mm] 0

>  >  >  [mm]\bruch{3x-1}{x^2}>[/mm] 0
>  >  >  -> Nenner ist immer positiv

>  >  >

> >
> > Wichtig ist der Zähler.
>  >  
> > Dieser ist größer 0, falls [mm]x> \bruch{1}{3}[/mm]
>  
> Danke für deine Hilfe!

>


Gruss
MathePower  

Bezug
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