Graph ist Nullmenge zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien k,n [mm] \in \IN, [/mm] 0 < k <n. Es sei [mm] f:\IR^{n-k} \to \IR^{k} [/mm] stetig. Zeigen Sie: Der Graph graph f [mm] =\{(x,f(x)); x\in \IR^{n-k} \} \subset \IR^n [/mm] ist eine Nullmenge. |
Hallo,
ich bin mir gerade bei oben genannter Aufgabe sehr unsicher.
Ich weiß nach einem bereits bewiesenen Satz, dass folgendes gilt: Sei n [mm] \ge [/mm] 2 und f: [mm] \IR^{n-1} \to \IR [/mm] stetig. Dann ist graph f:= [mm] \{\vektor{x \\ y}; x\in \IR^{n-1}, y=f(x)\} \subset \IR^n [/mm] eine Nullmenge.
Mein Bauchgefühl sagt mir, dass ich bestimmt diesen Satz für die oben genannte Aufgabe nutzen kann, denn wenn ich die 1 durch ein k ersetze, habe ich ja bereits das Gewünschte. Allerdings würde ich dadurch ja die Aussage verallgemeinern und das darf ich vermutlich nicht einfach so, oder?
Als zweite Überlegung habe ich versucht den Beweis des Satzes auf das Beispiel zu übertragen und hätte somit folgendes:
Es genügt, den Graphen von [mm] f|_{[-r,r]^{n-k}} [/mm] zu betrachten. f ist gleichmäßig stetig auf dem Kompaktum [mm] [-r,r]^{n-k}. [/mm] Zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es daher ein [mm] \delta [/mm] > 0, so dass |f(x)-f(x')| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] x, x' [mm] \in [-r,r]^{n-k} [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] x-x' [mm] \parallel_{\infty} [/mm] < [mm] \delta. [/mm] Sei j [mm] \in \IN, [/mm] j > [mm] \bruch{2r}{\delta}. [/mm] Indem man jedes Intervall [-r,r] äquidistant in j abgeschlossene Teilintervalle zerlegt, zerlegen wir [mm] [-r,r]^{n-k} [/mm] in [mm] j^{n-k} [/mm] kompakte Quader [mm] P_m [/mm] mit [mm] \lambda(P_m)=(\bruch{2r}{j})^{n-k}. [/mm] Man wählt ein [mm] u_m \in P_m [/mm] und erhält [mm] \{\vektor{x \\ y}; x \in P_m, y=f(x)\} \subset P_m [/mm] x [mm] [f(u_m)-\varepsilon, f(u_m)+\varepsilon]=:Q_m. [/mm] Es folgt graph [mm] f|_{[-r,r]^{n-k}} \subset \bigcup_{m=1}^{j^{n-k}} Q_m, \lambda (Q_m)=(\bruch{2r}{j})^{n-k}*2\varepsilon. [/mm] Also hat man [mm] \lambda^{\*}(graph f|_{[-r,r]^{n-k}}) \le (2r)^{n-k}*2 \varepsilon [/mm] für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Demnach ist graph [mm] f|_{[-r,r]^{n-k}} [/mm] und damit auch graph f eine Nullmenge.
Wäre das so schlüssig und vor allem richtig?
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Grüße,
Isabelle
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 So 11.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Isabelle!
> Es seien k,n [mm]\in \IN,[/mm] 0 < k <n. Es sei [mm]f:\IR^{n-k} \to \IR^{k}[/mm]
> stetig. Zeigen Sie: Der Graph graph f [mm]=\{(x,f(x)); x\in \IR^{n-k} \} \subset \IR^n[/mm]
> ist eine Nullmenge.
> Hallo,
> ich bin mir gerade bei oben genannter Aufgabe sehr
> unsicher.
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> Ich weiß nach einem bereits bewiesenen Satz, dass
> folgendes gilt: Sei n [mm]\ge[/mm] 2 und f: [mm]\IR^{n-1} \to \IR[/mm]
> stetig. Dann ist graph f:= [mm]\{\vektor{x \\ y}; x\in \IR^{n-1}, y=f(x)\} \subset \IR^n[/mm]
> eine Nullmenge.
>
> Mein Bauchgefühl sagt mir, dass ich bestimmt diesen Satz
> für die oben genannte Aufgabe nutzen kann, denn wenn ich
> die 1 durch ein k ersetze, habe ich ja bereits das
> Gewünschte. Allerdings würde ich dadurch ja die Aussage
> verallgemeinern und das darf ich vermutlich nicht einfach
> so, oder?
>
> Als zweite Überlegung habe ich versucht den Beweis des
> Satzes auf das Beispiel zu übertragen und hätte somit
> folgendes:
> Es genügt, den Graphen von [mm]f|_{[-r,r]^{n-k}}[/mm] zu
> betrachten. f ist gleichmäßig stetig auf dem Kompaktum
> [mm][-r,r]^{n-k}.[/mm] Zu [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es daher ein [mm]\delta[/mm] >
> 0, so dass [mm|f(x)-f(x')| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] x, x' [mm] \in [-r,r]^{n-k}[/mm] [/mm]
Nicht ganz: der Wertebereich vom f ist eine Teilmenge des [mm] $\IR^k$, [/mm] also musst du
[mm] \|f(x)-f(x')\|_\infty < \varepsilon \forall x, x' \in [-r,r]^{n-k}[/mm]
schreiben.
> mit [mm]\parallel x-x' \parallel_{\infty} < \delta.[/mm] Sei [mm]j \in \IN,[/mm]
> [mm]j > \bruch{2r}{\delta}.[/mm] Indem man jedes Intervall [mm][-r,r] [/mm]
> äquidistant in j abgeschlossene Teilintervalle zerlegt,
> zerlegen wir [mm][-r,r]^{n-k}[/mm] in [mm]j^{n-k}[/mm] kompakte Quader [mm]P_m[/mm]
> mit [mm]\lambda(P_m)=(\bruch{2r}{j})^{n-k}.[/mm] Man wählt ein [mm]u_m \in P_m[/mm]
> und erhält [mm]\{\vektor{x \\ y}; x \in P_m, y=f(x)\} \subset P_m \times[f(u_m)-\varepsilon, f(u_m)+\varepsilon]=:Q_m.[/mm]
Auch hier kannst du nicht [mm] $[f(u_m)-\varepsilon, f(u_m)+\varepsilon]$ [/mm] schreiben, sondern musst das für jede der k Komponenten des Vektors f einzeln machen. Du hast also ein Kreuzprodukt aus k Intervallen
[mm][f_i(u_m)-\varepsilon, f_i(u_m)+\varepsilon][/mm], [mm] $i=1,\dots,k$ [/mm] .
> Es folgt
> graph [mm]f|_{[-r,r]^{n-k}} \subset \bigcup_{m=1}^{j^{n-k}} Q_m, \lambda (Q_m)=(\bruch{2r}{j})^{n-k}*2\varepsilon.[/mm]
Und hier ist es dann [mm] $(2\varepsilon)^k$ [/mm] statt [mm] $2\varepsilon$.
[/mm]
> Also hat man [mm]\lambda^{\*}(graph f|_{[-r,r]^{n-k}}) \le (2r)^{n-k}*2 \varepsilon[/mm]
> für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Demnach ist graph
> [mm]f|_{[-r,r]^{n-k}}[/mm] und damit auch graph f eine Nullmenge.
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> Wäre das so schlüssig und vor allem richtig?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 So 11.11.2012 | | Autor: | Isabelle90 |
Vielen Dank für die Verbesserungen!
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Ich habe noch eine weitere Frage zum Thema Nullmenge.
Wie zeige ich, dass eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^n [/mm] M eine Nullmenge ist?
Anschaulich habe ich mir als Beispiel überlegt, dass die Oberfläche einer Kugel ja eine Nullmenge ist. Allerdings ist das natürlich kein Beweis und ich weiß irgendwie so gar nicht, wie ich anfangen bzw. vorgehen kann... Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Mo 12.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe noch eine weitere Frage zum Thema Nullmenge.
>
> Wie zeige ich, dass eine k-dimensionale
> Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^n[/mm] M eine Nullmenge ist?
>
> Anschaulich habe ich mir als Beispiel überlegt, dass die
> Oberfläche einer Kugel ja eine Nullmenge ist. Allerdings
> ist das natürlich kein Beweis und ich weiß irgendwie so
> gar nicht, wie ich anfangen bzw. vorgehen kann... Hat
> vielleicht jemand einen Tipp für mich?
Die Oberfläche einer Halbkugel kannst du als Graph einer Funktion schreiben, womit du den Nachweis auf die vorhergehende Aufgabe zurückgeführt hast.
Diese Funktion definiert eine Karte für die Halbkugel. Du könntest also versuchen, zunächst einmal zu zeigen, dass zu einer einzelnen Karte der Untermannigfaltigkeit eine offene Menge gehört, die eine Nullmenge ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:54 Di 13.11.2012 | | Autor: | Isabelle90 |
Vielen Dank!
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