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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:18 Di 10.11.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Sei A die 12 x 9 -Inzidenzmatrix eines unbekannten zusammenhängenden Graphen.
a) Wie viele Spalten von A sind unabhängig?
b) Unter welcher Bedingung an f ist [mm] A^T [/mm] y = f lösbar?
c) Die Diagonalelemente von [mm] A^T [/mm] A geben die Anzahl der Kanten pro Knoten an. Welchen Wert hat die Summe dieser Diagonalelemente? |
Hallo Zusammen,
eine praktische Anwendung der linearen Algebra sind Graphen und wenn man sich diese Graphen als elektrisches Netzwerk vorstellt, kann man aus den Knoten und die damit verbundenen Kanten eine Inzidenzmatrix aufstellen, diese gibt dann an, welche Kanten über welche Knoten verlaufen. Zumidnest hab ich das so verstanden.
a)
Es gibt also 12 Kanten und 9 Knoten, mit Hilfe der sogenannten Euler-Formel: (# = Anzahl)
#kleiner Zyklen - #Kanten + #Knoten = 1
Es ergibt sich folgende Gleichung:
x - 12 + 9 = 1 -> x = 4
Also hat der Graph 4 kleiner Zyklen, diese sind gleichbedeutend mit 4 linear abhängigen Zeilen, somit ist der Rang(A) = 9 - 4 = 5
Es gibt somit 5 linear unabhänige Zeilen/Spalten.
Stimmt das?
b)
[mm] A^T [/mm] = 9 - 12 Matrix
Also 9 Zeilen und 12 Spalten, diese hat aber auch den Rang 5. Somit ergeben sich 12 - 5 = 7 freie Spalten. Aufgrund der kleinen Zyklen müssten doch nun die letzten 7 Elemente von f gleich Null sein, damit [mm] A^T [/mm] y = f lösbar ist?
c)
Hierbei habe ich nur herausgefunden, dass die Matrix [mm] A^T [/mm] A, 9 Diagonalelemente haben muss. Aufgrund (9 x 12)(12 x 9) = 9 x 9 Matrix.
Wie aber bekomme ich heraus, was die Summe der Diagonalelelemten ist, ohne zu Wissen wie A aussieht?
Vielen Dank
itse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 12.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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