Graphen von Potenzfunktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
in einem Lehrbuch steht:
Zur Erinnerung: Die Graphen der Potenzfunktionen wie [mm] f(x)=x^{\bruch{2}{3}} [/mm] liegen ausschließlich im 1. Quadraten.
Jetzt wollte ich euch fragen, woran das liegt?
Dann habe ich mal zur Probe zwei Taschenrechner benutzt, der GTR zeichnet die Funktion auch im 2. Quadranten.
Dann habe ich einen ganz normalen TR genommen und (-2)^(2/3) mal eingegeben, da erscheint MA ERROR.
Dann habe ich versucht die Funktion im Internet zu zeichnen. Die Funktion [mm] f(x)=x^{\bruch{2}{3}} [/mm] zeichnen die meisten Onlineprogramme nur im 1. Quadranten. Hingegen die Funktion [mm] f(x)=x^{\bruch{1}{3}} [/mm] im ersten und zweiten.
Woran liegt das??
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 So 05.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> in einem Lehrbuch steht:
>
> Zur Erinnerung: Die Graphen der Potenzfunktionen wie
> [mm]f(x)=x^{\bruch{2}{3}}[/mm] liegen ausschließlich im 1.
> Quadraten.
>
> Jetzt wollte ich euch fragen, woran das liegt?
Das liegt daran, dass Wurzeln nur für Positive Zahlen definiert sind.
[mm] x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}
[/mm]
Und das geht nur für [mm] x\ge0
[/mm]
>
> Dann habe ich mal zur Probe zwei Taschenrechner benutzt,
> der GTR zeichnet die Funktion auch im 2. Quadranten.
>
> Dann habe ich einen ganz normalen TR genommen und
> (-2)^(2/3) mal eingegeben, da erscheint MA ERROR.
>
> Dann habe ich versucht die Funktion im Internet zu
> zeichnen. Die Funktion [mm]f(x)=x^{\bruch{2}{3}}[/mm] zeichnen die
> meisten Onlineprogramme nur im 1. Quadranten. Hingegen die
> Funktion [mm]f(x)=x^{\bruch{1}{3}}[/mm] im ersten und zweiten.
>
> Woran liegt das??
Manch ein Taschenrechner "ermöglicht" es, ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen, denn [mm] x^3=-8 [/mm] hat in der Tat die Lösung x=-2. Mathematisch gesehen ist das aber zumindest nicht ganz sauber, die Schreibweise [mm] \sqrt[3]{-8}=-2 [/mm] zu benutzen.
>
> Grüße
Marius
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würdest du dann die funktionen
[mm] f(x)=x^{\bruch{2}{3}} [/mm] und [mm] f(x)=x^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
ausschließlich im 1. Quadranten zeichnen? oder auch im 2. bzw. 3.??
Mein TR spuckt mir z.B. für [mm] f(-2)=(-2)^{\bruch{2}{3}}=1,5874 [/mm] aus und für
[mm] f(-2)=(-2)^{\bruch{1}{3}}=-1,26
[/mm]
Und nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 05.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> würdest du dann die funktionen
>
> [mm]f(x)=x^{\bruch{2}{3}}[/mm] und [mm]f(x)=x^{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> ausschließlich im 1. Quadranten zeichnen? oder auch im 2.
> bzw. 3.??
Diese würde ich auch für negative x zeichnen.
Wurzelgraphen würde ich allerdings nur für [mm] x\ge0 [/mm] zeichnen.
>
> Mein TR spuckt mir z.B. für
> [mm]f(-2)=(-2)^{\bruch{2}{3}}=1,5874[/mm] aus und für
>
> [mm]f(-2)=(-2)^{\bruch{1}{3}}=-1,26[/mm]
>
> Und nun?
Die Werte sind ok. Bei [mm] x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^{2}} [/mm] hast du ja eh kein Problem durch das Quadrat.
Interessant wird es bei geraden Wurzelexponenten, denn [mm] x^{3}=b [/mm] hat auch für b<0 eine Lösung, [mm] x^{4}=b [/mm] aber nicht.
Marius
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Betrachte ich aber nochmal die Funktion die [mm] f(x)=x^{\bruch{1}{3}} [/mm] und spiegele die Funktion an der y-Achse, so erhalte ich die Funktion [mm] f(x)=(-x)^{\bruch{1}{3}}. [/mm] Hier habe ich doch auch eine negative Wurzel, und jetzt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 05.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Betrachte ich aber nochmal die Funktion die
> [mm]f(x)=x^{\bruch{1}{3}}[/mm] und spiegele die Funktion an der
> y-Achse, so erhalte ich die Funktion
> [mm]f(x)=(-x)^{\bruch{1}{3}}.[/mm] Hier habe ich doch auch eine
> negative Wurzel, und jetzt??
Hallo,
Grund allen Übels ist die unterschiedliche Auffassung über die Definition solcher Terme im deutschen und im angelsächsischen Raum.
Da die Hersteller von Taschenrechnern/Matheprogrammen auch aus beiden Gebieten kommen, gibt es da ebenfalls keine Einheitlichkeit der Darstellung.
Halte dich also an die DIR vorliegende Definition.
Aussagen wie "aber mein Taschenrechner zeigt doch an, dass..." sind keine Argumente, sondern disqualifizieren in der Regel nur denjenigen, der so etwas als Beweis oder Gegenbeweis anbringen will. Taschenrechner zeigen nur an, was Menschen ihnen vorher einprogrammiert haben. Und da gibt es manche Sinnlosigkeit.
Gruß Abakus
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Und wie sieht es dann mit der dieser Gleichung aus:
[mm] x^{-3}=125
[/mm]
Die hat doch die Lösung [mm] x=125^{-\bruch{1}{3}}=-\wurzel[3]{125} [/mm] oder [mm] \wurzel[-3]{125}
[/mm]
und wie siehts mit [mm] x^{-3}=-125 [/mm] aus?? ist diese Gl. dann nicht lösbar? Weil im Buch geben die die Lösung
[mm] x=-125^{-\bruch{1}{3}}=-0,2
[/mm]
an.....
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Hallo steve.joke,
> Und wie sieht es dann mit der dieser Gleichung aus:
>
> [mm]x^{-3}=125[/mm]
>
> Die hat doch die Lösung
> [mm]x=125^{-\bruch{1}{3}}=-\wurzel[3]{125}[/mm] oder
> [mm]\wurzel[-3]{125}[/mm]
>
Ab dem zweiten Gleichheitszeichen stimmts nicht mehr.
Nur die Lösung [mm]x=125^{-\bruch{1}{3}}[/mm] stimmt.
> und wie siehts mit [mm]x^{-3}=-125[/mm] aus?? ist diese Gl. dann
> nicht lösbar? Weil im Buch geben die die Lösung
>
> [mm]x=-125^{-\bruch{1}{3}}=-0,2[/mm]
>
> an.....
>
Die gegebene Gleichung ist lösbar,
da hier ein ungerader Exponent vorliegt.
Gruss
MathePower
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Wie kann man dann begründen, dass die gleichung [mm] x^{\bruch{1}{5}}=-5 [/mm] keine Lösung hat?
Wenn man es sich zeichnet, ist es natürlich klar, jedoch rechnerisch....
[mm] x^{\bruch{1}{5}}=-5
[/mm]
mit zwei potenzieren würde doch
[mm] x=-5^2=-25.
[/mm]
wie kann man das begründen, dass es rechnerisch eigentlich falsch ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 So 05.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
man hat sich darauf geeinigt, dass [mm] x^r, [/mm] r reelle Zahl ,da es fuer neg x i.A keine werte hat nur fuer positive x zu definieren. dabei laesst man unberuecksichtigt, dass fuer r rationale Zahlen mit geradem Zaehler mann als [mm] (x`g)^{1/q} [/mm] doch Moeglichkeiten gibt. also bleib einfach im 1. Quadranten, das ist das vereinbarte.
grus leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Manch ein Taschenrechner "ermöglicht" es, ungerade Wurzeln
> aus negativen Zahlen zu ziehen, denn [mm]x^3=-8[/mm] hat in der Tat
> die Lösung x=-2. Mathematisch gesehen ist das aber
> zumindest nicht ganz sauber, die Schreibweise
> [mm]\sqrt[3]{-8}=-2[/mm] zu benutzen.
nur zur Ergänzung:
Die Definition für [mm] $\sqrt[n]{a}$ [/mm] für ungerades [mm] $n\,$ [/mm] und negative [mm] $a\,$ [/mm] wäre möglich,
sie birgt aber die Gefahr, "in natürlicher Weise" Rechenfehler zu begehen, bzw.
besser gesagt, bei Formulierungen für Rechengesetze gewisse Fälle nicht
herauszunehmen.
Man dürfte z.B. nicht
[mm] $$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[6]{(-8)^2}$$
[/mm]
rechnen, denn es ist halt [mm] $-2\not=2\,.$
[/mm]
Aber die größte Gefahr, die 'naheliegend' ist, wäre die bekannte Rechenregel
[mm] $$\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\,,$$
[/mm]
die wir für $a [mm] \ge [/mm] 0$ und $m,n [mm] \in \IZ$ [/mm] und $n [mm] \not=0$ [/mm] kennen.
Würden wir diese wie oben erlauben, so wäre nach den Rechenregeln in [mm] $\IQ$
[/mm]
etwa wegen [mm] $1/3=2/6\,$ [/mm] der Ausdruck
[mm] $$(-8)^{1/3}$$
[/mm]
nicht wohldefiniert, denn es müßte dafür [mm] $(-8)^{1/3}=(-8)^{2/6}$ [/mm] gelten...
In diesem Sinne: Man kann schon [mm] $\sqrt[n]{a}$ [/mm] für $a < [mm] 0\,$ [/mm] und ungerades natürliches
[mm] $n\,$ [/mm] definieren, einfach etwa per (wie gesagt, [mm] $n\,$ [/mm] ungerade und $a < 0$)
[mm] $$\sqrt[n]{a}:=\;-\;\sqrt[n]{-a}$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\sqrt[n]{a}:=-\;(-a)^{1/n} \text{ (man beachte: }|a|=-a >0\,.\text{)}$$ [/mm]
Aber damit dann auch zu arbeiten "ist nicht ganz ungefährlich" - d.h.,
dann ist Vorsicht geboten...
Gruß,
Marcel
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