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Ich möchte die Green-Funktion eines linearen Oszillators mit einer äußeren Kraft herausfinden.
Die Bewegungsgleichung ist, wie bekannt:
[mm] m\bruch{d^2}{dt^2}x(t)+kx(t)=\underbrace{(m\bruch{d^2}{dt^2}+k)}_{=D}*x(t)=f(t) [/mm]
wobei D der Differentialoperator und f(t) die äußere Kraft ist.
Weiter ist bei nur einem "Kick":
[mm] \delta(t-t')=D*G(t,t') [/mm]
Bei unendlich vielen Kicks, wie es ja bei einer Kraft f(t) ist, muss man das ja aufsummieren, deswegen ist:
[mm] f(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{dt'f(t')*\delta(t-t')} [/mm]
Also anstatt dem einen Kick
[mm] \delta(t-t')=D*G(t,t') [/mm]
nehme ich jetzt unendlich viele und ersetze die linke Seite durch f(T):
[mm] f(T)=D*G(t,t') [/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{dTf(T)*\delta(t-T)}=D*G(t,t') [/mm]
(Großes T weil t' ja frei ist, und T am Integral gebunden ist, oder?)
Weiter würde ich G(t,t') durch die Fouriertransformation ersetzen:
[mm] G(t,t')=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{dw*g(w)*e^{iw(t-t')}} [/mm]
Ich setze das oben ein und erhalte:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{dTf(T)*\delta(t-T)}=D*\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{dw*g(w)*e^{iw(t-t')}} [/mm]
Das D kann ich ins Integral ziehen:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{dTf(T)*\delta(t-T)}=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{dw*g(w)*De^{iw(t-t')}} [/mm]
Ich wende den Differentialoperator auf die e-Funktion an (im konkreten Fall des Oszillators):
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{dTf(T)*\delta(t-T)}=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{dw*g(w)*(-mw^2+k)e^{iw(t-t')}} [/mm]
Jetzt soll ich für drei verschiedene Kräfte die Green-Funktion berechnen:
[mm] f=f_0=const [/mm]
[mm]f=at[/mm]
[mm] f=f_0e^{-at} [/mm]
Da hackt es irgendwie:
Beispielsweise setze ich die erste Kraft ein:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{dTf_{0}*\delta(t-T)}=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{dw*g(w)*(-mw^2+k)e^{iw(t-t')}} [/mm]
Das [mm] f_0 [/mm] kann ich ja aus dem Integral ziehen:
[mm] f_{0}\integral_{-\infty}^{\infty}{dT*\delta(t-T)}=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{dw*g(w)*(-mw^2+k)e^{iw(t-t')}} [/mm]
Das Integral auf der linken Seite ist dann die Heaviside-Funktion:
[mm] f_{0}\Theta(t-t')}=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{dw*g(w)*(-mw^2+k)e^{iw(t-t')}} [/mm]
Ich will ja das g(w) herausfinden, aber ich weiß nicht, wie ich weiter machen soll. (Ist es überhaupt bis hier hin richtig?)
Danke für Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 02.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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