Greensche Funktion < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:48 Mi 09.07.2008 | | Autor: | PatrickC |
Hallo
ich habe folgende Situation: ich will die inverse Fouriertransformierte des Operators [mm] p^{-2} [/mm] bestimmen, wobei p der physikalische Impuls ist.
Nun kann man sagen
[mm] \mathcal{F}^{-1}(\frac{1}{p^2})=\frac{1}{\Delta},
[/mm]
was mich aber noch nicht ganz zufriedenstellt, da ich damit nicht besonders gut weiterrechnen kann. Nun habe ich gelesen, dass für die Dimension [mm] n\geq3 [/mm] dies mit einer Greenschen Funktion gleichgesetzt werden kann, so dass gilt
[mm] \frac{1}{\Delta} [/mm] = konst [mm] \frac{1}{|x|^{n-2}}.
[/mm]
Frage: kann ich etwas ähnliches auch in den Dimensionen 1 und 2 machen?
Gibt es auch Greensche Funktionen für [mm] \frac{1}{\nabla}?
[/mm]
Gruß
Patrick
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Do 10.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> ich habe folgende Situation: ich will die inverse
> Fouriertransformierte des Operators [mm]p^{-2}[/mm] bestimmen, wobei
> p der physikalische Impuls ist.
>
> Nun kann man sagen
>
> [mm]\mathcal{F}^{-1}(\frac{1}{p^2})=\frac{1}{\Delta},[/mm]
Naja, das ist eine recht schlampige Schreibweise.
> was mich aber noch nicht ganz zufriedenstellt, da ich damit
> nicht besonders gut weiterrechnen kann.
Was da eigentlich steht, ist die Aussage, dass [mm] $\mathcal{F}^{-1}(\frac{1}{p^2})$ [/mm] der inverse Operator zu [mm] $\Delta$ [/mm] ist, dass wenn
[mm] \Delta u =f [/mm] (mit geeigneten Randbedingungen)
ist,
[mm] u = \mathcal{F}^{-1}(\frac{1}{p^2}) f [/mm]
ist.
Der Zusatz "mit geeigneten Randbedingungen" sieht so harmlos aus, ist aber ungeheuer wichtig. So wie es da steht, lautet die Randbedingung: u fällt im Unendlichen hinreichend schnell ab.
> Nun habe ich
> gelesen, dass für die Dimension [mm]n\geq3[/mm] dies mit einer
> Greenschen Funktion gleichgesetzt werden kann, so dass
> gilt
>
> [mm]\frac{1}{\Delta}[/mm] = konst [mm]\frac{1}{|x|^{n-2}}.[/mm]
Wiederum: nur mit dieser Randbedingung. Sieh zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier.
>
> Frage: kann ich etwas ähnliches auch in den Dimensionen 1
> und 2 machen?
In zwei Dimensionen wäre eine entsprechende Greensche Funktion $G(x,x') = [mm] \ln|x-x'|$.
[/mm]
In einer Dimension müsst die Greensche Funktion linear in $|x-x'| $ sein, aber dann erfüllt sie die Randbedingung nur, wenn sie identisch 0 ist.
> Gibt es auch Greensche Funktionen für [mm]\frac{1}{\nabla}?[/mm]
Kommt drauf an, was du meinst. [mm] $\nabla [/mm] u =f $ ist ja keine einzelne Differentialgleichung, sondern ein System von n Differentialgleichungen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:29 Sa 12.07.2008 | | Autor: | PatrickC |
> Kommt drauf an, was du meinst. $ [mm] \nabla [/mm] u =f $ ist ja keine einzelne Differentialgleichung, sondern ein System von n Differentialgleichungen.
Hm, ok. Insofern ist die Notation wirklich schlecht. Gemeint ist, dass ich
[mm] $\mathcal{F}^{-1}[1/|p|]$ [/mm]
habe. Genauer will ich das Integral
[mm] $\int_{\IR^3\times\IR^3} V(x)\left|\mathcal{F}^{-1}[1/|p|](x-y)\right|^2V(y)dxdy$
[/mm]
nach oben abschätzen. Mit dem Ausdruck in der Mitte kann ich erstmal nicht so viel anfangen, darum würde ich ihn gern umformen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 So 13.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> > Kommt drauf an, was du meinst. [mm]\nabla u =f[/mm] ist ja keine
> einzelne Differentialgleichung, sondern ein System von n
> Differentialgleichungen.
>
> Hm, ok. Insofern ist die Notation wirklich schlecht.
> Gemeint ist, dass ich
>
> [mm]\mathcal{F}^{-1}[1/|p|][/mm]
>
> habe. Genauer will ich das Integral
>
> [mm]\int_{\IR^3\times\IR^3} V(x)\left|\mathcal{F}^{-1}[1/|p|](x-y)\right|^2V(y)dxdy[/mm]
>
> nach oben abschätzen. Mit dem Ausdruck in der Mitte kann
> ich erstmal nicht so viel anfangen, darum würde ich ihn
> gern umformen.
Die Fouriertransformierte von [mm] $\bruch{1}{|p|}$ [/mm] ist [mm] $\bruch{1}{|x|^2}$. [/mm] Daher denke ich, dass
[mm]\left|\mathcal{F}^{-1}[1/|p|](x-y)\right|^2 = \left|\bruch{1}{|x-y|^2}\right| [/mm]
gemeint ist.
Viele Grüße
Rainer
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