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| Aufgabe | Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe von Greenscher Funktionen
a) Lösen sie die Anfangswertaufgabe [mm] u''-4u=e^x [/mm] , u(0)=u'(0)=0
mit Hilfe einer geeigneten Greenschen Funktion
b) Lösen sie das Randwertproblem [mm] u''-u=e^{-x} [/mm] , u(0)=u(1)=0
mit Hilfe einer geeigneten Greenschen Funktion |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe ein paar Verständnisprobleme bei Greenschen Funktionen und hoffe ihr könnt mir helfen, diese mit Hilfe der oben genannten Aufgabe zu lösen.
zu a)
zunächst einmal habe ich das charakeristische Polynom aufgestellt und daraus die Fundamentallösungen
[mm] n1(x)=ae^{-2x} [/mm] und [mm] n2(x)=be^{2x} [/mm] ermittelt.
nun kommt schon mein erstes Problem, nämlich muss ich nun anhand der Anfangsbedingungen die Faktoren a und b ermitteln. Dabei habe ich offensichtlich einen Fehler gemacht da ich als anfangsbedingungen f(0)=0 und f'(0)=0 angenommen habe. In der Musterlösung sind allerdings die Anfangsbedingungen f(0)=0 und f'(0)=1 angegeben. wieso ist f'(0)=1 ? wie komme ich auf diese Bedingung (ich dachte ich muss nur einfach die Anfangsbedingungen nehmen und einsetzen aber das ist ja scheinbar nicht richtig) ??
Die weiteren Schritte (Aufstellen der Greenschen Funktion, Integralbildung über das Produkt von GF und der rechten Seite) hatte ich meines erachtens soweit richtig und wenn ich die Anfangsbedingungen aus der Musterlösung nehme komm ich auch auf das selbe Ergebnis. Ich hoffe ihr könnt mir irgendwie klarmachen wie ich auf die Anfangsbedingungen komme
zu b)
Auch hier habe ich wieder das Fundamentalsystem aufgestellt: [mm] n1(x)=e^{-x} n2(x)=e^x
[/mm]
Allerdings hört es dann schon auf.
in der Musterlösung werden zunächst 2 Gleichungen
[mm] \phi1=c11*n1(x)+c12*n2(x) [/mm] mit [mm] \phi1(0)=0 [/mm] und [mm] \phi1'(0)=1
[/mm]
[mm] \phi2=c21*n1(x)+c22*n2(x) [/mm] mit [mm] \phi2(0)=0 [/mm] und [mm] \phi2'(0)=1
[/mm]
die Bedingungen für [mm] \phi1 [/mm] und [mm] \phi2 [/mm] sind mir klar (hoffe ich). die Stammen aus den vorgegebenen Randwerten oder? aber warum müssen die beiden Ableitungen der Funktionen =1 sein? Ich hoffe mal das ist die gleiche Wissenslücke wie bei a)
weiterhin wird nun die wronski determinante gebildet. mir ist zwar nicht klar warum, jedoch nehme ich mal an dass das ein Standardverfahren ist (Bei der Randwertaufgabe fehlt mir sehr viel Background wissen wie es aussieht). Die weiteren Schritte lasse ich erst einmal weg, um nicht zuviel auf einmal zu Fragen. vielleicht erschließen sie sich mir ja wenn ich die Vorgehensweise bis hierhin verstanden habe.
Ich hoffe ihr könnt mir bis dahin ein wenig Licht ins dunkle bringen.
Vielen Dank schonmal für eure Bemühungen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Di 10.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe von Greenscher
> Funktionen
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> a) Lösen sie die Anfangswertaufgabe [mm]u''-4u=e^x[/mm] ,
> u(0)=u'(0)=0
>
> mit Hilfe einer geeigneten Greenschen Funktion
Hallo,
ich habe leider keine Ahnung von Greenschen Funktionen. Vielleicht hilft es dir trotzdem, wenn ich dir wenigstens eine Lösung nennen kann.
Ich habe [mm] u=e^{-\wurzel{5}x}-e^{-2x} [/mm] gefunden.
Gruß Abakus
>
> b) Lösen sie das Randwertproblem [mm]u''-u=e^{-x}[/mm] ,
> u(0)=u(1)=0
>
> mit Hilfe einer geeigneten Greenschen Funktion
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo,
> ich habe ein paar Verständnisprobleme bei Greenschen
> Funktionen und hoffe ihr könnt mir helfen, diese mit Hilfe
> der oben genannten Aufgabe zu lösen.
>
> zu a)
>
> zunächst einmal habe ich das charakeristische Polynom
> aufgestellt und daraus die Fundamentallösungen
>
> [mm]n1(x)=ae^{-2x}[/mm] und [mm]n2(x)=be^{2x}[/mm] ermittelt.
>
> nun kommt schon mein erstes Problem, nämlich muss ich nun
> anhand der Anfangsbedingungen die Faktoren a und b
> ermitteln. Dabei habe ich offensichtlich einen Fehler
> gemacht da ich als anfangsbedingungen f(0)=0 und f'(0)=0
> angenommen habe. In der Musterlösung sind allerdings die
> Anfangsbedingungen f(0)=0 und f'(0)=1 angegeben. wieso ist
> f'(0)=1 ? wie komme ich auf diese Bedingung (ich dachte ich
> muss nur einfach die Anfangsbedingungen nehmen und
> einsetzen aber das ist ja scheinbar nicht richtig) ??
>
> Die weiteren Schritte (Aufstellen der Greenschen Funktion,
> Integralbildung über das Produkt von GF und der rechten
> Seite) hatte ich meines erachtens soweit richtig und wenn
> ich die Anfangsbedingungen aus der Musterlösung nehme komm
> ich auch auf das selbe Ergebnis. Ich hoffe ihr könnt mir
> irgendwie klarmachen wie ich auf die Anfangsbedingungen
> komme
>
>
> zu b)
>
> Auch hier habe ich wieder das Fundamentalsystem
> aufgestellt: [mm]n1(x)=e^{-x} n2(x)=e^x[/mm]
>
> Allerdings hört es dann schon auf.
>
> in der Musterlösung werden zunächst 2 Gleichungen
>
> [mm]\phi1=c11*n1(x)+c12*n2(x)[/mm] mit [mm]\phi1(0)=0[/mm] und [mm]\phi1'(0)=1[/mm]
>
> [mm]\phi2=c21*n1(x)+c22*n2(x)[/mm] mit [mm]\phi2(0)=0[/mm] und [mm]\phi2'(0)=1[/mm]
>
> die Bedingungen für [mm]\phi1[/mm] und [mm]\phi2[/mm] sind mir klar (hoffe
> ich). die Stammen aus den vorgegebenen Randwerten oder?
> aber warum müssen die beiden Ableitungen der Funktionen =1
> sein? Ich hoffe mal das ist die gleiche Wissenslücke wie
> bei a)
>
>
> weiterhin wird nun die wronski determinante gebildet. mir
> ist zwar nicht klar warum, jedoch nehme ich mal an dass das
> ein Standardverfahren ist (Bei der Randwertaufgabe fehlt
> mir sehr viel Background wissen wie es aussieht). Die
> weiteren Schritte lasse ich erst einmal weg, um nicht
> zuviel auf einmal zu Fragen. vielleicht erschließen sie
> sich mir ja wenn ich die Vorgehensweise bis hierhin
> verstanden habe.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir bis dahin ein wenig Licht ins
> dunkle bringen.
>
> Vielen Dank schonmal für eure Bemühungen
>
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Vielen Dank für deine Bemühung. Leider hilft mir die Lösung allein nicht sehr viel weiter, da es mir eher darum geht, die Lösung mittels Greenscher Funktion zu verstehen.
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