Greensche Funktionen, Aufgabe < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Es geht um ein Thema das wir so nicht gehabt haben, jedoch habe ich Übungen mit Lösungen als auch einen Wikipedia Artikel zu den Greenschen Funktionen.
Ich würd gerne die Übungen Verstehen.
Aufgabe:
Suche die Greensche Funktion des Laplace-Operators auf dem Gebiet
a.) [mm] \IR^{3}
[/mm]
b.) [mm] B_{1}(0) \subset \IR^{3}
[/mm]
Was ich verstanden habe:
Eine Inhomogene Lineare DGL hat die Form
Ly = f, wobei L ein Linearer Differentialoperator ist.
Mit Hilfe der Greenschen Funktion sucht man die Partikuläre Lösung.
Jetzt macht man den "Ansatz" LG = [mm] \delta
[/mm]
Das leuchtet mir ein. Man versucht quasi nur für einen Punkt dieser Funktion f eine Lösung zufinden. Hat man dies kann man quasi integrieren und erhält die Lösungen für ganz f.
Aber wie soll ich da für Laplace Vorgehen?
In der Lösung steht (ich versteh aber nix von):
[mm] \gamma(x,y,z) [/mm] = [mm] \gamma(r)
[/mm]
[mm] \Delta \gamma(x,y,z) [/mm] = [mm] \Delta \gamma(r) [/mm] = [mm] \gamma''(r) [/mm] + [mm] 2*\gamma'(r) [/mm] = 0
[mm] \gamma(x,y,z) [/mm] = [mm] \bruch{a}{r} [/mm] + b
a = [mm] \bruch{1}{4*\pi}
[/mm]
b = 0
Kann mir jemand helfen?
Gruss
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Hallo qsxqsx!
> Hallo,
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> Es geht um ein Thema das wir so nicht gehabt haben, jedoch
> habe ich Übungen mit Lösungen als auch einen Wikipedia
> Artikel zu den Greenschen Funktionen.
> Ich würd gerne die Übungen Verstehen.
>
> Aufgabe:
> Suche die Greensche Funktion des Laplace-Operators auf dem
> Gebiet
> a.) [mm]\IR^{3}[/mm]
> b.) [mm]B_{1}(0) \subset \IR^{3}[/mm]
>
> Was ich verstanden habe:
> Eine Inhomogene Lineare DGL hat die Form
> Ly = f, wobei L ein Linearer Differentialoperator ist.
> Mit Hilfe der Greenschen Funktion sucht man die
> Partikuläre Lösung.
>
> Jetzt macht man den "Ansatz" LG = [mm]\delta[/mm]
> Das leuchtet mir ein. Man versucht quasi nur für einen
> Punkt dieser Funktion f eine Lösung zufinden. Hat man dies
> kann man quasi integrieren und erhält die Lösungen für
> ganz f.
> Aber wie soll ich da für Laplace Vorgehen?
>
> In der Lösung steht (ich versteh aber nix von):
>
> [mm]\gamma(x,y,z)[/mm] = [mm]\gamma(r)[/mm]
> [mm]\Delta \gamma(x,y,z)[/mm] = [mm]\Delta \gamma(r)[/mm] = [mm]\gamma''(r)[/mm] +
> [mm]2*\gamma'(r)[/mm] = 0
Das ist nicht ganz richtig.
>
> [mm]\gamma(x,y,z)[/mm] = [mm]\bruch{a}{r}[/mm] + b
> a = [mm]\bruch{1}{4*\pi}[/mm]
?
> b = 0
>
> Kann mir jemand helfen?
Es wird die Greensche Funktion [mm] $G(\vec{r},\vec{r'})$ [/mm] des Laplace-Operators gesucht.
Ansatz:
[mm] $G(\vec{r},\vec{r'}) [/mm] = [mm] \gamma(|\vec{r}-\vec{r'}|) [/mm] = [mm] \gamma(r)$, [/mm] wobei ($r := [mm] |\vec{r}-\vec{r'}|$).
[/mm]
Für die Greensche Funktion [mm] $\gamma(r)$ [/mm] gilt:
[mm] $\Delta \gamma(r) [/mm] = [mm] \delta(\vec{r}-\vec{r'})$
[/mm]
Das bedeutet
[mm] $\Delta \gamma(r) [/mm] = 0$ für $r > 0$ und [mm] $\int_V \Delta \gamma(|\vec{r}-\vec{r'}|) d^3\vec{r'} [/mm] = 1$ für [mm] $\vec{r} \in [/mm] V$
Hier gilt speziell : [mm] $\Delta \gamma(r) [/mm] = [mm] \frac{1}{r}\partial^2_r(r\gamma(r))= \ldots$
[/mm]
Also einfach (korrekt) ausrechnen und lösen!
Die Greensche Funktion ist hier das Potential einer Punktladung.
>
> Gruss
>
>
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke sehr, das war sehr hilfreich.
Ich seh jetzt mehr von den Zusammenhängen:
[mm] \Delta [/mm] v(r) = u(r) - Die Poissongleichung.
[mm] \Delta \gamma(r) [/mm] = [mm] \delta [/mm] - Quasi der Gedanke hinter der Greenschen Funktion.
[mm] \integral_{\IR^{3}}^{}{\Delta \gamma(r-r')*u(r') dr} [/mm] = [mm] \integral_{\IR^{3}}^{}{\delta(r-r') *u(r')dr'} [/mm] = u(r)
Das Integral und der Laplaceoperator lassen sich vertauschen. Somit hat man eine Lösung gefunden, wenn man die Greensche Funktion integriert.
Um die Greensche Funktion zu finden sucht man eine Funktion auf die Laplace angewendet und integriert über den Raum gleich 1 ist.
[mm] \Delta \gamma(r) [/mm] = [mm] \frac{1}{r}\partial^2_r(r\gamma(r))
[/mm]
Aber wie kommst du auf das? Der Laplace Operator mit einer Funktion die nicht von den Winkel abhängt ist doch [mm] \Delta \gamma(r) [/mm] = [mm] \bruch{1}{r^{2}}*\bruch{\partial}{\partial r}*(r^{2}*\bruch{\partial \gamma }{\partial r})
[/mm]
Oder?
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Hallo qsxqsx,
rechne mal beide Ausdrücke aus 
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ou ja, ist das gleiche.
Noch eine Frage:
Es folgt ja dann die DGL [mm] \bruch{2y'}{r} [/mm] + y'' = 0 mit Lösung [mm] \bruch{1}{4*\pi*r}
[/mm]
Wieso ist es jetzt genau so, dass für r = 0 das eben nicht 0 gibt. Das ist doch mehr "Zufall", oder hat man spezifisch die DGL [mm] \bruch{2y'}{r} [/mm] + y'' = [mm] \delta(r) [/mm] zu lösen?
Gruss
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Hallo qsxqsx!
> Ou ja, ist das gleiche.
>
> Noch eine Frage:
> Es folgt ja dann die DGL [mm]\bruch{2y'}{r}[/mm] + y'' = 0 mit
> Lösung [mm]\bruch{1}{4*\pi*r}[/mm]
im Fall
[mm] $\Delta \gamma(r) [/mm] = [mm] \nabla \cdot (\nabla\gamma)= \delta(\vec{r}-\vec{r'})$
[/mm]
ist die Lösung
[mm] $\gamma(r)=-\frac{1}{4 \pi r} [/mm] $.
Aber aus der Lösung und aus Deiner Frage unten schließe ich, dass
[mm] $\Delta \gamma(r) [/mm] = [mm] \nabla \cdot (\nabla\gamma)= -\delta(\vec{r}-\vec{r'})$ [/mm] gefordert wird!
>
> Wieso ist es jetzt genau so, dass für r = 0 das eben nicht
> 0 gibt. Das ist doch mehr "Zufall", oder hat man spezifisch
> die DGL [mm]\bruch{2y'}{r}[/mm] + y'' = [mm]\delta(r)[/mm] zu lösen?
Ja, man hat [mm] $\Delta \gamma(r) [/mm] = [mm] \nabla \cdot (\nabla\gamma)= \delta(\vec{r}-\vec{r'})$ [/mm] zu lösen.
(Vielleicht verstehe ich die Frage nicht richtig.)
>
> Gruss
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Di 28.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja ich fand es einfach sehr verblüffend das diese gefundene Funktion Div = 0 für r [mm] \not= [/mm] 0 und Div = [mm] \infty [/mm] für r = 0. So eine Eigenschaft ist ja auch nicht selbstverständlich...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Wo ich gleich dabei bin...die b.) kapier ich genauso wenig wie am Anfang die a.) trotz Lösung.
Lösung:
[mm] -\delta [/mm] G = [mm] \delta_{x} [/mm] in [mm] B_{1}(0)
[/mm]
G = 0 auf [mm] \partial B_{1}(0)
[/mm]
Reflektionsprinzip:
X = [mm] \bruch{x}{|x|^{2}}
[/mm]
G(x,y) = [mm] \bruch{1}{4*\pi}*\bruch{1}{|x-y|} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4*\pi}*\bruch{1}{|x||y-X|}
[/mm]
??? -> Ein Tipp oder mehrere Tipps wäre(n) echt klasse.
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Hallo qsxqsx!
> Wo ich gleich dabei bin...die b.) kapier ich genauso wenig
> wie am Anfang die a.) trotz Lösung.
>
> Lösung:
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> [mm]-\delta[/mm] G = [mm]\delta_{x}[/mm] in [mm]B_{1}(0)[/mm]
> G = 0 auf [mm]\partial B_{1}(0)[/mm]
>
> Reflektionsprinzip:
> X = [mm]\bruch{x}{|x|^{2}}[/mm]
>
> G(x,y) = [mm]\bruch{1}{4*\pi}*\bruch{1}{|x-y|}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{4*\pi}*\bruch{1}{|x||y-X|}[/mm]
>
> ??? -> Ein Tipp oder mehrere Tipps wäre(n) echt klasse.
In diesem Fall gilt für die Greensche Funktion [mm] $G(\vec{x},\vec{y})$:
[/mm]
[mm] $\Delta G(\vec{x},\vec{y}) [/mm] = [mm] -\delta(\vec{x}-\vec{y})$ [/mm] für [mm] $\vec{x} \in B_1(0)$
[/mm]
und
[mm] $G(\vec{x},\vec{y}) [/mm] = 0$ für [mm] $\vec{x} \in \partial B_1(0)$
[/mm]
Der Ansatz interpretiert die Greensche Funktion [mm] $G(\vec{x},\vec{y}) [/mm] = [mm] \frac{1}{4\pi|\vec{y}-\vec{x}|} [/mm] + [mm] \frac{d}{4\pi|\vec{y}-\vec{X}|}$ [/mm] als Überlagerung der Potentiale zweier Punktladungen (Spiegelladungen) an [mm] $\vec{x}\notin B_1(0)$ [/mm] und [mm] $\vec{X} \in B_1(0)$. [/mm] Die Bedingungen liefern dann $d = [mm] -\frac{1}{\|\vec{x}\|}$ [/mm] und [mm] $\vec{X} [/mm] = [mm] \frac{1}{\|\vec{x}\|^2}\vec{x}$
[/mm]
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Di 28.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke...........!
Der Begriff Spiegelladung sagt alles. Die Mathe dahinter muss ich jetzt nochmals durchgehen.
Schönen Tag!
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