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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Do 06.08.2009 | | Autor: | Apeiron |
| Aufgabe | Gesucht ist eine allgemeine Lösung von:
[mm]y''+y=tan(x)[/mm] |
Hallo!
Sieht doch eigentlich gar nicht so schwer aus...aber egal wie gut ich glaube die Dinge in der Theorie verstanden zu haben, in der Praxis ergeben sich meist kleinere oder größere Fehler.
Die Lösung der homogenen DGL lautet [mm]y=C_1sin(x)+C_2cos(x)[/mm]
Für die spezielle der inhomogenen DGL:
[mm] y_p(x)=C_1\integral_a^x{cos(x-t+a)tan(t)dt}+C_2\integral_a^x{sin(x-t+a)tan(t)dt}
[/mm]
Mit den Additionstheoremen:
[mm] \integral_a^x{sin(t)tan(t)dt}[C_1sin(x+a)-C_2cos(x+a)]+\integral_a^x{cos(t)tan(t)dt}[C_1cos(a+x)+C_2sin(a+x)]
[/mm]
[mm] [-cos(x)+cos(a)][C_1cos(a+x)+C_2sin(a+x)]+[ln[tan(\frac{2x+\pi}{4})]-sin(x)-ln[tan(\frac{2a+\pi}{4})]+sin(a)][C_1sin(x+a)-C_2cos(x+a)]
[/mm]
Stimmt das bis hier...
Irgenwie kommt es mir ganz falsch vor da im Lösungsbuch der Ausdruck ganz kurz und ohne a ist...
Gruß
Apeiron
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Genügt es nicht, eine einzige spezielle Lösung zu finden?
Zum Beispiel: [mm]a=0 \, , \, C_1 = 0 \, , \, C_2 = 1[/mm]
Damit komme ich auf
[mm]y = \sin x - \cos x \cdot \ln \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right)[/mm]
als spezielle Lösung. Und wenn man sich überlegt, daß der Sinus-Summand in der homogenen Lösung schon drinsteckt, müßte es sogar mit
[mm]y = - \cos x \cdot \ln \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right)[/mm]
gehen.
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