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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:40 So 03.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier meine Aufgabe:
Es sei G ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet von [mm] \IC [/mm] mit glattem Rand. Weiter sei f eine biholomorphe Abbildung von G auf das Innere des Einheitskreises mit f(w)=0 für ein [mm] w\in [/mm] G. Zeige: Die Greensfunktion von G ist gegeben durch
[mm] G(z,w):=-\bruch{1}{2\pi}\ln|f(z)|.
[/mm]
Irgendwie finde ich gerade gar keine allgemeine Definition für die Greensfunktion - kann mir die mal einer sagen? Und vielleicht noch, wie ich dann mit dieser Aufgabe anfange?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 So 03.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Kannst du mir mal eure Definition von "Greensche Funktion" nennen?
Ich frage mich nämlich, woher das [mm] $\frac{1}{2\pi}$ [/mm] kommt. Ich kenne es so:
Es sei $G$ ein relativ kompaktes, regulär berandetes Teilgebiet von [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] sei ein Punkt von $G$. Eine stetige Funktion
[mm] $g=G_G(\cdot ,x_0) [/mm] : [mm] \bar{G} \setminus \{x_0\} \to \IR$ [/mm]
heißt Greensche Funktion von $G$ mit Singularität in [mm] $x_0$, [/mm] wenn sie auf $G [mm] \setminus \{x_0\}$ [/mm] harmonisch ist, auf [mm] $\partial [/mm] G$ verschwindet und in [mm] $x_0$ [/mm] eine positive logarithmische Singularität hat.
Offenbar ist für beschränkte Gebiete $G$ der komplexen Zahlenebene
$g(z) = h(z) - [mm] \log|z-z_0|$
[/mm]
die Greensche Funktion, wobei $h(z)$ die Lösung des Dirichlet-Problems zum Randwert [mm] $\log|z-z_0|$ [/mm] ist.
Für den Einheitskreis [mm] $D_1(0)$ [/mm] und [mm] $z_0=0$ [/mm] gilt insbesondere, weil $h(z)=0$ die Lösung des Dirichlet-Problems zu [mm] $\log|1|=0$ [/mm] ist:
[mm] $g_{D_1(0)}(\cdot ,0)=-\log|z|$.
[/mm]
Nun gibt es eine interessante Transformationseigenschaft der Greenschen Funktion, die uns hier sehr hilft:
Es seien $G$ und [mm] $G^{\*}$ [/mm] regulär berandete relativ kompakte Gebiete auf [mm] $\IC$, $f:G^{\*} \to [/mm] G$ sei eine biholomorphe Abbildung. Für [mm] $y_0 \in G^{\*}$ [/mm] wird dann die Greensche Funktion [mm] $g^{\*} [/mm] = [mm] g_{G^{\*}}(y,y_0)$ [/mm] durch
[mm] $g^{\*}(y) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} g_G(f(y),f(y_0)) & , & \mbox{für} \ y \in G^{\*}, \\[5pt] 0 & , & \mbox{für} \ y \in \partial G^{\*} \end{array} \right.$
[/mm]
gegeben.
Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.
Jetzt ist die Frage, ob ihr diese Transformationsregel hattet oder beweisen müsst. Zur Vorsicht beweise ich sie schnell:
Offenbar ist [mm] $g^{\*}$ [/mm] harmonisch auf [mm] $G^{\*} \setminus \{y_0\}$. [/mm] Nach Voraussetzung ist
$h(x) = [mm] g_G(x,f(y_0)) [/mm] + [mm] \log|x|$ [/mm]
harmonisch in einer Umgebung von [mm] $f(y_0)$. [/mm] Also ist
[mm] $g^{\*}(y) [/mm] + [mm] \log|f(y)| [/mm] = h(f(y))$
harmonisch nahe [mm] $y_0$. [/mm] Somit hat [mm] $g^{\*}$ [/mm] eine logarithmische Singularität in [mm] $y_0$. [/mm] Es bleibt die Stetigkeit von [mm] $g^{\*}$ [/mm] in den Punkten [mm] $y^{\*} \in \partial [/mm] G$ zu untersuchen. Es sei [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $G^{\*}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} y_n=y_{\*} \in \partial G^{\*}$. [/mm] Alle Häufungspunkte von [mm] $f(y_n)$ [/mm] liegen auf [mm] $\partial [/mm] G$, für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] enthält die kompakte Menge [mm] $\{x \in G\, : \, g_G(x,x_0) \ge \varepsilon\}$ [/mm] also nur endlich viele der [mm] $f(y_n)$. [/mm] Daraus folgt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} g^{\*}(y_n)=0$.
[/mm]
So, ich weiß, dass das alles nicht einfach ist. (Aus meiner Sicht gehört das eher zum Stoff einer Vorlesung aus dem 5. Semester, um ehrlich zu sein.) Ich denke es bringt nicht viel Rückfragen zu stellen, solange du den Stoff nicht aufgearbeitet hast. Schreibe es am besten einfach so ab, ohne meine Zwischenbemerkungen. 
Suche aber noch einmal nach einer Definition der "Greenschen Funktion" in eurem Skript, denn dann muss ich den Beweis eventuell abändern. Denn ich bekomme ja die Funktion ohne das [mm] $\frac{1}{2\pi}$ [/mm] raus.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Also ich hab jetzt noch zwei Fragen hierzu:
> Es seien [mm]G[/mm] und [mm]G^{\*}[/mm] regulär berandete relativ kompakte
> Gebiete auf [mm]\IC[/mm], [mm]f:G^{\*} \to G[/mm] sei eine biholomorphe
> Abbildung. Für [mm]y_0 \in G^{\*}[/mm] wird dann die Greensche
> Funktion [mm]g^{\*} = g_{G^{\*}}(y,y_0)[/mm] durch
>
> [mm]g^{\*}(y) = \left\{ \begin{array}{ccc} g_G(f(y),f(y_0)) & , & \mbox{für} \ y \in G^{\*}, \\[5pt] 0 & , & \mbox{für} \ y \in \partial G^{\*} \end{array} \right.[/mm]
>
> gegeben.
Was sind denn regulär berandete relativ kompakte Gebiete? Gibt's da noch ne andere Formulierung für?
> Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.
Und warum folgt daraus direkt die Behauptung?
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich kenne die Voraussetzungen so aus der Theorie der Riemannschen Flächen. Es kann sein, dass man in [mm] $\IC$ [/mm] mit weniger auskommt. Schreibe einfach "beschränkte Gebiete" und lass den kompletten Rest (also das "relativ kompakt" und "regulär berandet") weg. Da ich ja nicht weiß, wie ihr die Sachen eingeführt habt und was bei euch die Greensche Funktion ist, kann ich auch schlecht sagen, welche Voraussetzungen bei euch gelten. Da du die Begriffe nicht kennst und sie so in der Vorlesung anscheinend nicht fielen, solltest du sie natürlich auch nicht verwenden.
> Und warum folgt daraus direkt die Behauptung?
Naja, ich hatt doch gezeigt, dass die Greensche Funktion auf dem Einheitskreis gerade [mm] $-\log(z)$ [/mm] ist, und dann ist sie auf dem Gebiet eben nach dem Transformationssatz [mm] $-\log(f(z))$. [/mm] Wo hier die [mm] $\frac{1}{2\pi}$ [/mm] herkommen, weiß ich halt leider nicht. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Liebe Grüße
Stefan
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]"){kind=small}
