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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Di 28.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo, es geht mir um Folgendes:
Ich bedinge einmal auf das Ereignis "y=0" und einmal auf das Ereignis "u=0", wobei [mm] $u:=\frac{y}{\vert x\vert}$. [/mm]
Ich möchte diese beiden bedingenden Ereignisse gerne als Grenzwerte auffassen, also in dem Sinne, dass
[mm] $\vert y\vert\leq\varepsilon, \varepsilon\to [/mm] 0$ und [mm] $\vert u\vert\leq\varepsilon, \varepsilon\to [/mm] 0$.
Diese beiden Grenzwertprozesse möchte ich gerne veranschaulichen. |
Ich habe mir überlegt, dass man sich im ersten Fall sukzessive von beiden Seiten der x-Achse annähert (s. Dateianhang: Plot1),
[Dateianhang nicht öffentlich]
während ich im zweiten Fall ja umstellen kann:
[mm] $\vert u\vert\leq\varepsilon\Leftrightarrow \vert y\vert\leq\varepsilon\vert x\vert$
[/mm]
und man sich dann auf anderer Art der x-Achse annähert (s. Dateianhang: Plot2).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sehe ich das richtig?
Dass also in beiden Fällen die x-Achse der "Grenzwert" ist , dass es sich aber um zwei verschiedene Grenzwertprozesse handelt?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Do 30.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dennis,
> Hallo, es geht mir um Folgendes:
>
> Ich bedinge einmal auf das Ereignis "y=0" und einmal auf
> das Ereignis "u=0", wobei [mm]u:=\frac{y}{\vert x\vert}[/mm].
>
> Ich möchte diese beiden bedingenden Ereignisse gerne als
> Grenzwerte auffassen, also in dem Sinne, dass
>
> [mm]\vert y\vert\leq\varepsilon, \varepsilon\to 0[/mm] und [mm]\vert u\vert\leq\varepsilon, \varepsilon\to 0[/mm].
>
> Diese beiden Grenzwertprozesse möchte ich gerne
> veranschaulichen.
>
>
> Ich habe mir überlegt, dass man sich im ersten Fall
> sukzessive von beiden Seiten der x-Achse annähert (s.
> Dateianhang: Plot1),
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> während ich im zweiten Fall ja umstellen kann:
>
> [mm]\vert u\vert\leq\varepsilon\Leftrightarrow \vert y\vert\leq\varepsilon\vert x\vert[/mm]
>
> und man sich dann auf anderer Art der x-Achse annähert (s.
> Dateianhang: Plot2).
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
>
> Sehe ich das richtig?
>
> Dass also in beiden Fällen die x-Achse der "Grenzwert" ist
> , dass es sich aber um zwei verschiedene Grenzwertprozesse
> handelt?
ich finde es schwer, herauszulesen, was Du da nun wirklich meinst. Im ersten
Plot plottest Du eigentlich die Graphen (bzw. ausgewählte Graphen) der Funktionen
[mm] $$f_{\epsilon,k}(x):=(-1)^k \epsilon$$
[/mm]
mit [mm] $k=1,2\,$ [/mm] für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Im zweiten Plot sieht man etwa die Graphen der Funktionen
[mm] $$g_{\epsilon,k}(x):=(-1)^k *\epsilon*|x|\,,$$
[/mm]
wobei oben alles Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] seien.
Die Bedingung [mm] $u=0\,$ [/mm] ist mit [mm] $y:=u*|x|\,$ [/mm] (beachte übrigens, dass Du nur [mm] $u=y/|x|\,$
[/mm]
schreiben kannst, wenn $x [mm] \not=0$ [/mm] ist) in der Tat äquivalent zu [mm] $y=0\,,$ [/mm] sofern
denn $x [mm] \not=0$ [/mm] ist - das sollte bei Dir aber sein, weil Du [mm] $u=y/|x|\,$ [/mm] definiert hattest.
Mithilfe der [mm] $f_{\epsilon,k}$ [/mm] könnte man nun die gleichmäßige Konvergenz einer
Funktionenfolge zu beschreiben versuchen - das ist nur ein Umschreiben und
eine Veranschaulichung der Definition.
Deine hier gestellte Frage läßt sich aber umformulieren zu der Frage, ob denn die
[mm] $f_{\epsilon,k}\to [/mm] 0$ und zudem auch die [mm] $g_{\epsilon,k} \to [/mm] 0$ bei [mm] $\epsilon \to [/mm] 0$
streben. Das tun sie, und das ist auch trivial: Der formale Nachweis ist sowieso
kein Problem, weil für jedes [mm] $x\,$ [/mm] leicht nachzurechnen ist, dass [mm] $f_{\epsilon,k}(x) \to [/mm] 0 [mm] \leftarrow g_{\epsilon,k}(x)$
bei $0 < \epsilon \to 0\,.$
Und anschaulisch ist das auch klar: Wenn ich an irgendeiner Stelle $x\,$ auf der
$x\,$-Achse bin und ein $\epsilon_0 > 0$ habe, dann ist klar, dass, wenn ich
$f_{\epsilon,k}(x)$ betrachte, sicher $|f_{\epsilon,k}(x)|=|\epsilon|<|\epsilon_0|=\epsilon_0$ für alle $0 < \epsilon < \epsilon_0$ gilt. Dabei ist "wurscht", wo auf
der $x\,$-Achse ich mich befunden habe.
Bei den $g_{\epsilon,k}$ ist's ein wenig anders: Wenn ich $\epsilon_0 > 0$ habe,
und dann $x_0 > 0$ habe, dann ist $|g_{\epsilon,k}(x_0)|< \epsilon_0$ sicher für
alle $\epsilon < \epsilon_0/x_0\,.$ Springe ich nun aber von $x_0$ zur Stelle $x:=2*x_0$
und betrachte dort $|g_{\epsilon,k}(x)|\,,$ so sehe ich, dass $|g_{\epsilon,k}(x)|=2*|x_0|*|\epsilon|$
sicher nicht $< \epsilon_0$ sein wird für alle $\epsilon < \epsilon/x_0$:
Ich brauche ja nur $\tilde{\epsilon}:=\frac{3}{4}*\epsilon_0/x_0$ einzusetzen.
Aber wenn Du Dir nur nur die Graphen der Funktionen anschaust:
Mit kleinerwerdendem $\epsilon > 0$ bewegen sich alle Graphen auf die $x\,$-Achse
zu. Wenn Du Dir an einer bestimmten Stelle $x\,$ aber nun anschaust, wie "gut" diese
Bewegung verläuft, so siehst Du, dass, gerade für betragsmäßig großes $x\,$ der
Graph der Funktion $g_{\epsilon,k}$ an der betrachteten Stelle noch nicht so nahe an
der $x\,$-Achse liegt wie dies der Graph der Funktion $f_{\epsilon,k}$ tut.
P.S.
Das ganze, was man sich auch noch irgendwie gedanklich vorstellt, in Worte zu
verfassen, ist echt kompliziert, da man ständig befürchten muss, sich missverständlich
auszudrücken. Im "richtigen Leben" kann man notfalls "zeigen, was man meint". Das
ist hier sehr aufwändig. Daher hatte sich bis dato sicher auch noch niemand auf
Deine Frage gemeldet, obwohl ich die Hoffnung hatte, dass dies vielleicht doch jemand
noch tut. ;-)
Gruß,
Marcel
[/mm]
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