Grenzrate der Substitution. < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
| Aufgabe | | (1) U(a,b) [mm] =\wurzel[1]{a} \wurzel[1]{b} [/mm] |
Wie kann ich anhand einer Nutzenfunktion erkennen, ob die die Grenzrate der Substitution fällt? Und wie die Grenzrate der Nutzenfunktion aussieht ?
Als Beispiel könnte man Funktion (1) betrachten.
Vielen Dank für eure Hilfe !
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Hallo!
> (1) U(a,b) [mm]=\wurzel[1]{a} \wurzel[1]{b}[/mm]
> Wie kann ich
> anhand einer Nutzenfunktion erkennen, ob die die Grenzrate
> der Substitution fällt? Und wie die Grenzrate der
> Nutzenfunktion aussieht ?
> Als Beispiel könnte man Funktion (1) betrachten.
Schaue dir mal die partiellen Ableitungen der Funktion an.
> Vielen Dank für eure Hilfe !
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Vielen Dank Marcel, ich frage mich nur, wie ich das anhand einer konkreten Funktion zeigen kann. Was genau muss erfüllt sein, dass die Grenzrate der Substitution fällt, und wie genau kann ich es anhand ein konkreten Funktion zeigen ?
Welche "handwerklichen" Mittel brauche ich dazu - z.B. partielle Ableitung?
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> Vielen Dank Marcel, ich frage mich nur, wie ich das anhand
> einer konkreten Funktion zeigen kann. Was genau muss
> erfüllt sein, dass die Grenzrate der Substitution fällt,
> und wie genau kann ich es anhand ein konkreten Funktion
> zeigen ?
>
> Welche "handwerklichen" Mittel brauche ich dazu - z.B.
> partielle Ableitung?
Ja genau. Vielleicht zeigst du einfach mal, wie die partiellen Ableitungen der Funktion aussehen.
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Hallo, das sieht dann so aus, wie geht es weiter?
Vielen dank für deine Hilfe ;)
[mm] \bruch{\partial U(a,b)}{\partial a}=\bruch{\wurzel{b}}{2* \wurzel{a}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial U(a,b)}{\partial b}=\bruch{\wurzel{a}}{2* \wurzel{b}}
[/mm]
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Hallo!
> Hallo, das sieht dann so aus, wie geht es weiter?
> Vielen dank für deine Hilfe ;)
>
> [mm]\bruch{\partial U(a,b)}{\partial a}=\bruch{\wurzel{b}}{2* \wurzel{a}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> [mm]\bruch{\partial U(a,b)}{\partial b}=\bruch{\wurzel{a}}{2* \wurzel{b}}[/mm]
Hinweis: [mm] U(a,b)=\wurzel[1]{a}*\wurzel[1]{b}=a^{\bruch{1}{1}}*b^{\bruch{1}{1}}=(a*b)^{\bruch{1}{1}}=a*b
[/mm]
Möglicherweise hast du dich aber auch beim Notieren der Aufgabenstellung vertan?
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
[mm] \bruch{\partial U(a,b)}{\partial a}= \bruch{\wurzel{a*b}}{2*a}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial U(a,b)}{\partial b}= \bruch{\wurzel{a*b}}{2*b}
[/mm]
ich habe jetzt nach von [mm] (a*b)^{0.5} [/mm] abgeleitet.
Wie würde es jetzt weitergehen? Danke nochmals für deine Hilfe !
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Hallo!
> [mm]\bruch{\partial U(a,b)}{\partial a}= \bruch{\wurzel{a*b}}{2*a}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial U(a,b)}{\partial b}= \bruch{\wurzel{a*b}}{2*b}[/mm]
>
> ich habe jetzt nach von [mm](a*b)^{0.5}[/mm] abgeleitet.
>
> Wie würde es jetzt weitergehen? Danke nochmals für deine
> Hilfe !
Es kommt mir so vor, als würdest du die Antworten, die man dir auf deine Fragen gibt, einfach ignorieren. Bevor du nun weiterrechnest, nochmal meine Anmerkungen:
(1) Stimmt die von dir in deinem ersten Post angegebene Nutzenfunktion [mm] U(a,b)=\wurzel[1]{a}*\wurzel[1]{b} [/mm] oder hast du dich möglicherweise dabei vertippt? Meinst du eventuell [mm] U(a,b)=\wurzel{a}*\wurzel{b} [/mm] ?
(2) Wenn sie stimmt, so sind deine Berechnungen auch diesmal falsch. Bitte beachte dazu meinen Hinweis aus dem vorherigen Post.
(3) Wenn sie nicht stimmt: Bitte korrigiere die Nutzenfunktion.
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Hey Marcel,
ich ignoriere nicht mutwillig. Ich habe das ganz einfach nicht richtig verstanden. Sorry.
Die Funktion sieht wirklich so aus :
[mm] U(a,b)=\wurzel{a}\cdot{}\wurzel{b}
[/mm]
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Hallo!
> Hey Marcel,
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> ich ignoriere nicht mutwillig. Ich habe das ganz einfach
> nicht richtig verstanden. Sorry.
Ich habe dich nur nach der richtigen Aufgabenstellung gefragt.
> Die Funktion sieht wirklich so aus :
>
> [mm]U(a,b)=\wurzel{a}\cdot{}\wurzel{b}[/mm]
Du hattest oben zunächst die folgende Nutzenfunktion angegeben:
[mm] U(a,b)=\wurzel[1]{a}*\wurzel[1]{b}
[/mm]
Nach meiner Rückfrage schreibst du die Nutzenfunktion so um, wie ich es bereits vermutet hatte:
[mm] U(a,b)=\wurzel{a}\cdot{}\wurzel{b}=\wurzel[2]{a}\cdot{}\wurzel[2]{b}
[/mm]
Offensichtlich hast du dich wirklich vertippt, oder du hast dir den Unterschied der beiden Funktionen noch nicht bewusst gemacht. Im Allgemeinen gilt
[mm] U(a,b)=\wurzel[1]{a}*\wurzel[1]{b}\not=U(a,b)=\wurzel{a}\cdot{}\wurzel{b}=\wurzel[2]{a}\cdot{}\wurzel[2]{b}
[/mm]
Wir gehen also nun von der Nutzenfunktion [mm] U(a,b)=\wurzel{a}\cdot{}\wurzel{b} [/mm] aus:
Ausgehend von dieser Nutzenfunktion stimmen die von dir angegebenen partiellen Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial(a,b)}{\partial a}=\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{b}{a}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial(a,b)}{\partial b}=\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{a}{b}}
[/mm]
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Hallo Marcel ! Vielen Dank für dein Hilfe, nur wie komme ich jetzt von den beiden partiellen Ableitungen zu dem Beweis, dass die Grenzrate der Substitution abnimmt?
LG tumas
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> Hallo Marcel ! Vielen Dank für dein Hilfe, nur wie komme
> ich jetzt von den beiden partiellen Ableitungen zu dem
> Beweis, dass die Grenzrate der Substitution abnimmt?
>
> LG tumas
Es gilt:
[mm] MRS=-\bruch{\bruch{\partial{U(A,B)}}{\partial{A}}}{\bruch{\partial{U(A,B)}}{\partial{B}}} [/mm]
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Hallo marcel das würde dann so aussehen:
- [mm] \bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{b}{a}}}{\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{a}{b}}}
[/mm]
Das ist nur eingesetzt in die Definition der Grenzrate der Substitution, aber es beweist doch nicht, dass die GRS wirklich fällt ? Oder?
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> Hallo marcel das würde dann so aussehen:
>
> -
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{b}{a}}}{\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{a}{b}}}[/mm]
Das ist alles? Man kann doch sicher noch etwas vereinfachen, oder?
> Das ist nur eingesetzt in die Definition der Grenzrate der
> Substitution, aber es beweist doch nicht, dass die GRS
> wirklich fällt ? Oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Hallo Marcel vielen dank für den Hinweis!
ich kann noch kürzen:
- [mm] \bruch {\bruch{\wurzel{b}}{\wurzel{a}}}{\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}}
[/mm]
Leider habe ich nicht verstanden, woran ich jetzt beweisen kann das die GRS fällt? Wenn ich das jetzt immer in die Bedinung einsetzte, dass die GRS gleich dem negativen der partiellen Ableitung der beiden Güter ist, dann ist sie für jede Funktion fallend. Oder?
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> Hallo Marcel vielen dank für den Hinweis!
>
> ich kann noch kürzen:
>
> - [mm]\bruch {\bruch{\wurzel{b}}{\wurzel{a}}}{\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}}[/mm]
Immer schön weiter vereinfachen ...
> Leider habe ich nicht verstanden, woran ich jetzt beweisen
> kann das die GRS fällt? Wenn ich das jetzt immer in die
> Bedinung einsetzte, dass die GRS gleich dem negativen der
> partiellen Ableitung der beiden Güter ist, dann ist sie
> für jede Funktion fallend. Oder?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
- [mm] \bruch{b}{a} [/mm] Nur, das könnte man doch für jegliche Funktion definieren.
Wie kann ich zeigen, dass die Funktion Konvex ist bzw, dass die Grenzrate der Substitution abnimmt?
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> - [mm]\bruch{b}{a}[/mm] Nur, das könnte man doch für jegliche
> Funktion definieren.
> Wie kann ich zeigen, dass die Funktion Konvex ist bzw, dass
> die Grenzrate der Substitution abnimmt?
Was weisst du über den Zusammenhang zwischen Indifferenzkurven und der Grenzrate der Substitution?
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Hallo Marcel, vielen Dank für deine rasche Antwort!
Die Indifferenzkurve spiegelt "den Gütermix" von Gut a und Gut b wieder, die den Konsumenten den gleichen Nutzen stifftet. Bewegt sich der Konsument entlang der Indifferenzkurve´hat er immer den gleichen Nutzen
Die Grenzrate der Substitution ist das "Tauschverhältnis" zwischen den Gütern a und b. Wieviel a ist der Konsument bereit abzugeben für b. Die Grenzrate der Substitution sorgt dafür, dass der Konsument sich immer auf dem gleichen Nutzenniveau befindet.
Wie geht es nun weiter, irgendwas verstehe ich glaube ich nicht, :D ;)
Vielen Dank Marcel für deine Geduldt und Hilfe !
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> Hallo Marcel, vielen Dank für deine rasche Antwort!
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> Die Indifferenzkurve spiegelt "den Gütermix" von Gut a und
> Gut b wieder, die den Konsumenten den gleichen Nutzen
> stifftet. Bewegt sich der Konsument entlang der
> Indifferenzkurve´hat er immer den gleichen Nutzen
>
> Die Grenzrate der Substitution ist das "Tauschverhältnis"
> zwischen den Gütern a und b. Wieviel a ist der Konsument
> bereit abzugeben für b. Die Grenzrate der Substitution
> sorgt dafür, dass der Konsument sich immer auf dem
> gleichen Nutzenniveau befindet.
Das sind sehr schöne Definitionen, allerdings wieder nicht die Antworten auf meine Frage. Ich hatte dich nach dem Zusammenhang zwischen Indifferenzkurven und der Grenzrate der Substitution gefragt.
> Wie geht es nun weiter, irgendwas verstehe ich glaube ich
> nicht, :D ;)
>
> Vielen Dank Marcel für deine Geduldt und Hilfe !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Da die Grenzrate der Substitution das Tauschverhältnis von gut a und b ist, zeigt die GRS die Steigung der Indifferenzkurve an.
Das ist der Zusammenhang. GRS = Steigung der Indifferenzkurve.
Hm, aber wie kann ich denn zeigen, dass die GRS abnimmt, übersehe ich was ?
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> Da die Grenzrate der Substitution das Tauschverhältnis von
> gut a und b ist, zeigt die GRS die Steigung der
> Indifferenzkurve an.
>
> Das ist der Zusammenhang. GRS = Steigung der
> Indifferenzkurve.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Hm, aber wie kann ich denn zeigen, dass die GRS abnimmt,
> übersehe ich was ?
Was haben wir die ganze Zeit berechnet?
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Wie kommt nun das negative Vorzeichen vor den Quotienten der partiellen Ableitungen von a und b? Das hat man doch einfach per definition da rein gesetzt oder sehe ich das Falsch?
Ich verstehe einfach nicht, woran ich merken könnte, das die GRS z.B. positiv ist.
Muss der Grenznutzen von z.B. a steigen und abnehmen, damit ich in die GRS einsetzen darf???
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> Wie kommt nun das negative Vorzeichen vor den Quotienten
> der partiellen Ableitungen von a und b? Das hat man doch
> einfach per definition da rein gesetzt oder sehe ich das
> Falsch?
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> Ich verstehe einfach nicht, woran ich merken könnte, das
> die GRS z.B. positiv ist.
>
> Muss der Grenznutzen von z.B. a steigen und abnehmen, damit
> ich in die GRS einsetzen darf???
Versuche dir mal einige Gedanken zu der Thematik zu machen, ehe du wieder in die Tasten haust. Dein Job bis morgen:
1.) Für welchen Zahlenraum sind a und b sinnvollerweise definiert? (Nutzenfunktion betrachten!)
2.) Was ergibt sich daraus im Hinblick auf die Grenzrate der Substitution, bzw. im Hinblick auf die Steigung einer Indifferenzkurve? (Skizze!)
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Vielen Dank Marcel ! Werde ich machen, ich melde mich dann die Tage nochmal ! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> Vielen Dank Marcel ! Werde ich machen,
Wenn du das getan hast, kannst du dir ja nochmal deine schönen Definitionen zu der GRS und einer Indifferenzkurve anschauen. Zusammen mit der Skizze (Achsenbeschriftung!) einer solchen Kurve, sollte es dir dann nicht mehr schwer fallen, das Ganze auch ökonomisch sinnvoll zu begründen.
> ich melde mich dann
> die Tage nochmal ! ;)
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Bzw weiter vereinfacht zu : - [mm] \bruch{b}{a}
[/mm]
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
