Grenzw. einer Folge eindeutig < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Mi 20.08.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo
ich habe eine kurze Frage bezüglich des Beweises, dass der Grenzwert einer Folge in K= [mm] \mathbb{R} [/mm] oder [mm] \mathbb{C} [/mm] eindeutig ist.
In Ana1, wenn man Folgen in [mm] \mathbb{R} [/mm] oder [mm] \mathbb{C} [/mm] kennenlernt und betrachtet, dann wird der Beweis, dass Grenzwerte da eindeutig sind, oftmals(?) über ein Widerspruchsbeweis geführt, wie etwa hier http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS09/mafi2/teil3.pdf auf S.2.
Ich habe den Beweis auch so in meinem Ana1skript stehen. Gibt es einen Grund, dass so zu beweisen? Ist das nicht etwas umständlicher als nötig?
Oder ist da irgendwas falsch dran, den kurzen direkten Beweis mit der Dreieicksungleichung zu machen? Ich wüsste nicht, weshalb das falsch sein sollte, aber frage lieber mal nach.
Das wäre dann grob der Beweis: [mm] (a_n) [/mm] Folge in K mit [mm] a_n\to [/mm] a und [mm] a_n\to [/mm] b für [mm] n\to \infty
[/mm]
dann ist [mm] |a-b|\le |a-a_n|+|a_n-b|\to [/mm] 0 für [mm] n\to \infty [/mm] und daraus folgt: a=b.
Ich bin etwas verunsichert. Gruß
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Hallo,
> Hallo
> ich habe eine kurze Frage bezüglich des Beweises, dass
> der Grenzwert einer Folge in K= [mm]\mathbb{R}[/mm] oder [mm]\mathbb{C}[/mm]
> eindeutig ist.
> In Ana1, wenn man Folgen in [mm]\mathbb{R}[/mm] oder [mm]\mathbb{C}[/mm]
> kennenlernt und betrachtet, dann wird der Beweis, dass
> Grenzwerte da eindeutig sind, oftmals(?) über ein
> Widerspruchsbeweis geführt, wie etwa hier
> http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS09/mafi2/teil3.pdf auf
> S.2.
> Ich habe den Beweis auch so in meinem Ana1skript stehen.
> Gibt es einen Grund, dass so zu beweisen? Ist das nicht
> etwas umständlicher als nötig?
> Oder ist da irgendwas falsch dran, den kurzen direkten
> Beweis mit der Dreieicksungleichung zu machen? Ich wüsste
> nicht, weshalb das falsch sein sollte, aber frage lieber
> mal nach.
> Das wäre dann grob der Beweis: [mm](a_n)[/mm] Folge in K mit [mm]a_n\to[/mm]
> a und [mm]a_n\to[/mm] b für [mm]n\to \infty[/mm]
> dann ist [mm]|a-b|\le |a-a_n|+|a_n-b|\to[/mm]
> 0 für [mm]n\to \infty[/mm] und daraus folgt: a=b.
> Ich bin etwas verunsichert. Gruß
Hm, dazu gibt es keinen Anlss (zum Verunsichertsein). Ich würde sagen, das ist Gesachmacksache. Die Dreiecksungleichung darf man ja an dieser Stelle wohl als bekannt voraussetzen, so dass nichts gegen deinen direkten Beweis spricht. Nur ganz ehrlich: für meinen Geschmack ist der keinesfalls naheliegend sondern eben der Beweis durch Widerspruch ist der naheliegendste.
Gruß, Diophant
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Hallo,
als Anmerkung:
Ich sehe nicht wirklich, das hier ein Widerspruchsbeweis vermieden wird eher verschleiert.
Denn was bedeutet [mm] $|a-a_n|+|a_n-b| \to [/mm] 0$ eigentlich genau.
Es läuft doch i.W. darauf hinaus, dass $|a-b|< [mm] \epsilon \quad \forall \epsilon [/mm] > 0$ und da ist wieder der Widerspruchsbeweis aus dem Skript.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Mi 20.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo MaslanyFanClub,
> als Anmerkung:
> Ich sehe nicht wirklich, das hier ein Widerspruchsbeweis
> vermieden wird eher verschleiert.
> Denn was bedeutet [mm]|a-a_n|+|a_n-b| \to 0[/mm] eigentlich genau.
> Es läuft doch i.W. darauf hinaus, dass [mm]|a-b|< \epsilon \quad \forall \epsilon \in \mathbb R[/mm]
> und da ist wieder der Widerspruchsbeweis aus dem Skript.
Ja, da hast du natürlich auch wieder Recht, so weit habe ich gar nicht gedacht. Falsch wird der Beweis ja dadurch nicht, aber eben auch nicht irgendwie intuitiver.
Gruß, Diophant
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> Hallo MaslanyFanClub,
>
> > als Anmerkung:
> > Ich sehe nicht wirklich, das hier ein
> Widerspruchsbeweis
> > vermieden wird eher verschleiert.
> > Denn was bedeutet [mm]|a-a_n|+|a_n-b| \to 0[/mm] eigentlich
> genau.
> > Es läuft doch i.W. darauf hinaus, dass [mm]|a-b|< \epsilon \quad \forall \epsilon \in \mathbb R[/mm]
>
> > und da ist wieder der Widerspruchsbeweis aus dem Skript.
>
> Ja, da hast du natürlich auch wieder Recht, so weit habe
> ich gar nicht gedacht. Falsch wird der Beweis ja dadurch
> nicht, aber eben auch nicht irgendwie intuitiver.
>
> Gruß, Diophant
Mit dem hab ich allerdings vollkommen Unrecht, hab den blödsinnigen Fehler grad ausgebessert [mm] $\epsilon [/mm] >0$ natürlich, sonst bin ich im Land der schlechten Mathewitze.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mi 20.08.2014 | | Autor: | drossel |
danke für eure Antworten.
In dem Widerpruchsbeweis im Skript steckt das ja mit der Dreiecksungleichung schon drin.
Folgt in der direkten Variante aus |a-b| [mm] \le |a-a_n|+|a_n-b|\to [/mm] 0 nicht, dass [mm] |a-b|\le [/mm] 0 und daraus a=b (weil der Betrag einer Zahl nicht negativ ist)?
Das im Skript ist aber auch nicht schwer zu verstehen für mich. Finde auch, dass das so klarer wird wie es da steht.
Lg
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> danke für eure Antworten.
> In dem Widerpruchsbeweis im Skript steckt das ja mit der
> Dreiecksungleichung schon drin.
> Folgt in der direkten Variante aus |a-b| [mm]\le |a-a_n|+|a_n-b|\to[/mm]
> 0 nicht, dass [mm]|a-b|\le[/mm] 0 und daraus a=b (weil der Betrag
> einer Zahl nicht negativ ist)?
Blöde Frage: Woher weißt du denn das der Grenzwert [mm] $\lim_{n \to \infty} |a-a_n|=0$ [/mm] eindeutig ist ?
Ich finde diesen Beweis sehr schwammig, denn du arbeitest mit der Theorie, die du eigentlich erst beweisen willst.
> Das im Skript ist aber auch nicht schwer zu verstehen für
> mich. Finde auch, dass das so klarer wird wie es da steht.
> Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mi 20.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich habe mal in obigem Skript nachgesehen und festgestellt, dass der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer konvergenten Folge unmittelbar nach der Def. der Konvergenz kommt.
Für Deinen "Beweis" brauchst Du, dass die Summe zweier konvergenter Folgen wieder konvergiert und zwar gegen die Summe der Grenzwerte.
Weiter brauchst Du noch die Monotonie des Grenzwertes. Für all diese Eigenschaften braucht man aber schon die Eindeutigkeit des Grenzwertes !!!
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mi 20.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Drossel,
> Hallo
> ich habe eine kurze Frage bezüglich des Beweises, dass
> der Grenzwert einer Folge in K= [mm]\mathbb{R}[/mm] oder [mm]\mathbb{C}[/mm]
> eindeutig ist.
> In Ana1, wenn man Folgen in [mm]\mathbb{R}[/mm] oder [mm]\mathbb{C}[/mm]
> kennenlernt und betrachtet, dann wird der Beweis, dass
> Grenzwerte da eindeutig sind, oftmals(?) über ein
> Widerspruchsbeweis geführt, wie etwa hier
> http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS09/mafi2/teil3.pdf auf
> S.2.
> Ich habe den Beweis auch so in meinem Ana1skript stehen.
> Gibt es einen Grund, dass so zu beweisen? Ist das nicht
> etwas umständlicher als nötig?
was bedeutet "umständlicher als nötig"? Ich selbst würde diesen Satz ein
wenig anders beweisen, was im Endeffekt zwar genau das Gleiche ist, wie
das, was dort gemacht wird, aber meiner Ansicht nach den Beweis ein
wenig übersichtlicher macht:
1. Wir zeigen: Wenn für $a [mm] \in \IR$
[/mm]
$|a| < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$
gilt, dann folgt [mm] $a=0\,.$
[/mm]
Beweis: Ist [mm] $a=0\,,$ [/mm] so ist nichts zu zeigen. Für $a [mm] \not=0$ [/mm] setze [mm] $\epsilon:=|a|\,,$ [/mm] und man
sieht den Widerspruch.
2. Sei nun [mm] $a_n \to [/mm] a$ und [mm] $a_n \to b\,.$ [/mm] Für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ sei [mm] $\epsilon':=\epsilon/2\,,$ [/mm] dann existieren [mm] $N_1'$ [/mm] und $N'_2$
mit [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon'$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_1'$ [/mm] und [mm] $|a_n-b| [/mm] < [mm] \epsilon'$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_2'.$
[/mm]
Für alle $n [mm] \ge N:=\max\{N_1',\,N_2'\}$ [/mm] folgt
$|a-b| [mm] \le |a-a_n|+|a_n-b| [/mm] < [mm] 2*\epsilon'=\epsilon.$
[/mm]
3. Insbesondere folgt für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ mit dem [mm] $N\,$ [/mm] aus 2.:
$|a-b| < [mm] |a-a_N|+|a_N-b|=\epsilon\,,$
[/mm]
also
$|a-b| < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Nach 1. folgt [mm] $a-b=0\,,$ [/mm] also [mm] $a=b\,.$
[/mm]
Wie Du siehst: Der Widerspruch steckt hier auch drin, er ist nämlich in 1.
enthalten!
(P.S. Wie ich gerade nachträglich festgestellt habe, hatte MaslanyFanclub
Dir das i.W. so in seinen Mitteilungen auch schon geschrieben...)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mi 20.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> ich habe eine kurze Frage bezüglich des Beweises, dass
> der Grenzwert einer Folge in K= [mm]\mathbb{R}[/mm] oder [mm]\mathbb{C}[/mm]
> eindeutig ist.
> In Ana1, wenn man Folgen in [mm]\mathbb{R}[/mm] oder [mm]\mathbb{C}[/mm]
> kennenlernt und betrachtet, dann wird der Beweis, dass
> Grenzwerte da eindeutig sind, oftmals(?) über ein
> Widerspruchsbeweis geführt, wie etwa hier
> http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS09/mafi2/teil3.pdf auf
> S.2.
> Ich habe den Beweis auch so in meinem Ana1skript stehen.
> Gibt es einen Grund, dass so zu beweisen? Ist das nicht
> etwas umständlicher als nötig?
ich habe auch mal einen alternativen Beweis im Angebot: Es gelte
[mm] $a_n \to [/mm] a$ und [mm] $a_n \to [/mm] b$ mit $a [mm] \not=b\,.$ [/mm] Setze [mm] $\epsilon:=|a-b|/4\,,$ [/mm] dann ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Folglich
existieren [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] mit
[mm] $|a_n [/mm] -a | < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_1$
[/mm]
und
[mm] $|a_n-b| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_2\,.$
[/mm]
Sei nun [mm] $N=\max\{N_1,\,N_2\}\,.$ [/mm] Dann folgt einerseits
[mm] $|a_N-a| [/mm] < [mm] \epsilon=|a-b|/4$
[/mm]
und damit andererseits (beachte $|x-y| [mm] \ge |\;|x|-|y|\;|$)
[/mm]
[mm] $|a_N-b|=|(a_N-a)-(b-a)|$ $\ge$ $|\;|a_N-a|-|b-a|\;|$
[/mm]
[mm] $\blue{\stackrel{\substack{\text{bea.: }\\0 \le |a_N-a| < |b-a|}}{=}}$ $|b-a|-|a_N-a| [/mm] > [mm] |b-a|-\frac{|b-a|}{4}=\frac{3}{4}|b-a|={3}\epsilon\,.$
[/mm]
Dies widerspricht
[mm] $|a_N-b| [/mm] < [mm] \epsilon=\frac{1}{4}|b-a|\,.$
[/mm]
Fazit: Wenn [mm] $a_n \to a\,,$ [/mm] so kann [mm] $a_n \to [/mm] b$ für $b [mm] \not=a$ [/mm] nicht(!) gelten.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Mi 20.08.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S. Ich denke, der Vorteil des alternativen Beweises besteht vor allem darin,
dass man sich die Überlegungen, die dort zum Tragen kommen, gut an einer
Skizze veranschaulichen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Do 21.08.2014 | | Autor: | drossel |
Oh man, wieso sehe ich sowas nicht selbst?! Ich hab nun verstanden was ihr meint. Vielen vielen Dank für eure Erläuterungen, Erklärungen, Beweise, die ganzen Bemühungen. Es kommt jetzt bei mir dazu keine weitere Frage mehr auf. Das "umständlicher als nötig" aus dem Startbeitrag nehme ich zurück, muss vorsichtiger sein. Der Beweis wie im Skript zb ist dann mehr als gerechtfertigt. Wünschte ich könnte mich irendwie bei euch revangieren als dankeschön (ich frag ja auch sonst hier im Forum sehr viel nach)
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Do 21.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Oh man, wieso sehe ich sowas nicht selbst?! Ich hab nun
> verstanden was ihr meint. Vielen vielen Dank für eure
> Erläuterungen, Erklärungen, Beweise, die ganzen
> Bemühungen. Es kommt jetzt bei mir dazu keine weitere
> Frage mehr auf. Das "umständlicher als nötig" aus dem
> Startbeitrag nehme ich zurück, muss vorsichtiger sein.
ich fand' Deine Frage jetzt nicht Fehl am Platze, im Gegenteil, ich finde es
gut, wenn so etwas wie hier hinterfragt wird.
> Der Beweis wie im Skript zb ist dann mehr als gerechtfertigt.
> Wünschte ich könnte mich irendwie bei euch revangieren
> als dankeschön (ich frag ja auch sonst hier im Forum sehr
> viel nach)
Das Forum ist doch für Fragen da. 
Gruß,
Marcel
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