Grenzwert-Regel v. LHospital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Do 14.05.2009 | | Autor: | cooly |
| Aufgabe | Bestimme den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(ln x)^{2}}{\wurzel{x}} [/mm] |
Wenn ich nun den Grenzwert betsimmte möchte, sehe ich, dass der Term "unendlich / unendlich" entspricht. Demnach wende ich die Regel von LHospital an und leite den Zähler sowie Nenner ab.
Dann wird es nach meinen Berechnungn ein Termn von "0 / 0". Bei weiteren Ableitungen wird es wieder ein Termn von "0 / 0". Aber wenn es ein solcher Termn ist, müsste ich wieder und wieder die Regel von LHospital anwenden können, bis ich einen Grenzwert finde. Jedoch habe ich keinen Grenzwert fidnen können.
Wo liegt denn mein Fehler? Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo cooly, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Mal abgesehen davon, dass Dein Limes gewiss [mm] \red{x}\rightarrow\infty [/mm] voraussetzt, taucht bei mir das Problem nicht auf.
Nach der ersten Anwendung von l'Hospital habe ich auch noch einen Term vom Typ [mm] \tfrac{\infty}{\infty}, [/mm] nach der zweiten Anwendung kann ich aber direkt einen Grenzwert bestimmen.
Das beste ist also, Du prüfst nochmal Deine Ableitungen und kommst, falls es nicht klappt, mit der ganzen Rechnung wieder. Dann ist es viel leichter, Dir weiterzuhelfen.
Liebe Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Do 14.05.2009 | | Autor: | cooly |
Ja, sorry. Selbstverständlich meine ich für x gegen unendlich (und nicht n).
Meine erste Anwendung der Regel sieht wie folgt aus:
[mm] \bruch{4 ln (x) * \wurzel{x}}
[/mm]
{x}
Danach wende ich die Regel nochmal an und ich komme zu folgendem Ergebnis:
4 * [mm] (\bruch{1}{x} [/mm] * [mm] \wurzel{x} [/mm] + [mm] (\bruch{ln (x) }{2 \wurzel{x}}))
[/mm]
Habe ich nun einen Fehler gemacht bei den Ableitungen oder wie erkenne ich nun den Grenzwert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja, sorry. Selbstverständlich meine ich für x gegen
> unendlich (und nicht n).
>
> Meine erste Anwendung der Regel sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\bruch{4 ln (x) * \wurzel{x}}[/mm]
> {x}
Wenn Du meinst
[mm] \bruch{4ln(x)*\wurzel{x}}{x}
[/mm]
so ist es richtig. Das kannst Du noch vereinfachen zu
[mm] \bruch{4ln(x)}{\wurzel{x}}
[/mm]
>
Wende jetzt die Regel nochmal an
FRED
> Danach wende ich die Regel nochmal an und ich komme zu
> folgendem Ergebnis:
>
> 4 * [mm](\bruch{1}{x}[/mm] * [mm]\wurzel{x}[/mm] + [mm](\bruch{ln (x) }{2 \wurzel{x}}))[/mm]
>
> Habe ich nun einen Fehler gemacht bei den Ableitungen oder
> wie erkenne ich nun den Grenzwert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Do 14.05.2009 | | Autor: | cooly |
Vielen Dank.
Ok, dann war wohl mein Fehler, dass ich den Termn nach der ersten Ableitung nich vollständig vereinfacht hatte.
Nach der zweiten Anwednung komme ich zu folgendem Ergebnis:
[mm] \bruch{8}{\wurzel{x}}
[/mm]
Dann müsste also der Grenzwert 0 sein, wenn ich das korrekt abgeleitet habe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles bestens !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Sa 16.05.2009 | | Autor: | cooly |
| Aufgabe | Ermittel den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{e^{x}-1}) [/mm] |
Bei der Berechnung des Grenzwertes mit Hilfe der Regel von de l'Hospital komme ich leider wieder nicht weiter.
Wenn ich x gegen 0 gehen lasse, müsste das [mm] "\infty [/mm] - [mm] \infty" [/mm] entsprechen, sodass ich eine entsprechende Umformung vornehme, dass zu folgender Gleichung führt:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] (1 - [mm] \bruch{x}{e^{x}-1}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Meiner Meinung nach entspricht dieser Termn "0 * [mm] \infty". [/mm] Dann wende ich wieder eine Umformung, was mich zu folgendem Termn führt:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1-\bruch{x}{e^{x}-1}}{x})
[/mm]
Wenn ich nun sage, dass dieser Termn "0 / 0" entspricht und ich nach der Regel den Zähler und Nenner ableite, finde ich immer noch keinen Grenzwert.
Was ist der Fehler bei meinem Vorgehen, dass ich keinen Grenzwert finde?
Vielen Dank!
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Hallo,
Also an deiner Stelle würd ich es so machen, dass du erst mal die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst:
Das sollte dann folgendermaßen aussehen: [mm] \bruch{e^{x} -1 -x }{x*e^{x} -x}. [/mm] Wenn du darauf nun 2mal de l´Hospital anwendest solltest du aufs richtige Ergebnis des Grenzwerts kommen.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Sa 16.05.2009 | | Autor: | cooly |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow0} x^{\wurzel{x}} [/mm] |
Danke für den Tipp. Damit komme ich auf einen Grenzwert von [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Bei der oben genannten Aufgaben, fehlt mir leider schon wieder der entscheidende Schritt...
[mm] \limes_{x\rightarrow0} x^{\wurzel{x}} [/mm] entspricht [mm] "0^{0}". [/mm] Durch eine Umformung bringe ich es auf die folgende Form:
[mm] e^{\wurzel{x} * ln (x)}
[/mm]
Damit ich weiter rechnen kann, muss ich den Termn auf die Form "0 * [mm] \infty" [/mm] bringen. Kann mir jemand helfen, wie ich diesen Schritt machen kann um dann weiterrechnen zu können?
Vielen Dank im Voraus!
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Also eig. musst du gar nix weiter rechnen bzw. umformen, denn [mm] 0^{0} [/mm] ist normalerweise definiert als 1.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 So 17.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Also eig. musst du gar nix weiter rechnen bzw. umformen,
> denn [mm]0^{0}[/mm] ist normalerweise definiert als 1.
>
> Viele Grüße
Grober Unfug.
[mm] 0^0 [/mm] ist (aus gutem Grund) nicht definiert.
Schließlich ist [mm] 0^x [/mm] für [mm] x\ne [/mm] 0 garantiert 0.
Andererseits ist [mm] x^0 [/mm] für [mm] x\ne [/mm] 0 garantiert 1.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 So 17.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Also ich hab ganz sicher schon des öfteren von einer Konvention gehört, nach der man [mm] 0^{0} [/mm] als 1 definiert, das macht zumindest Sinn, wenn man [mm] e^{x} [/mm] als konvergente Reihe schreiben will oder auch bei der geometrischen Reihe macht diese Definition Sinn. Von daher würd ich mal nicht von Humbug sprechen an deiner Stelle.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 So 17.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Also ich hab ganz sicher schon des öfteren von einer
> Konvention gehört, nach der man [mm]0^{0}[/mm] als 1 definiert, das
> macht zumindest Sinn, wenn man [mm]e^{x}[/mm] als konvergente Reihe
> schreiben will oder auch bei der geometrischen Reihe macht
> diese Definition Sinn. Von daher würd ich mal nicht von
> Humbug sprechen an deiner Stelle.
Hallo,
[mm] 0^0 [/mm] OHNE JEDE WEITERE VORAUSSETZUNG als 1 zu definieren, ist Humbug.
Es ist richtig, dass der Grenzwert von [mm] x^x [/mm] gegen Null gleich 1 ist.
Allerdings ist der Grenzwert von [mm] 0^x [/mm] mit x gegen Null eben NICHT 1, sondern Null.
Genau das ist ja die Aufgabe von "L'Hospital", solche erst mal unentscheidberen Fälle doch noch zu entscheiden.
Gruß Abakus
>
> Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 So 17.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Ich habs jetzt nochmal nachgeschaut im Forster, da steht eindeutig: §2 Körper-Axiome, Potenzen: Ist x eine reelle Zahl, so werden die Potenzen [mm] x^{n} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] durch Induktion wie folgt definiert:
[mm] x^{0}:=1 [/mm] , [mm] x^{n+1}:= x^{n}x, \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0.
Des weiteren steht:
(Man beachte, dass nach Definition auch [mm] 0^{0}=1.)
[/mm]
Das sollte ja wohl kein Unfug sein, was der gute Prof. Dr. Otto Forster schreibt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 So 17.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich habs jetzt nochmal nachgeschaut im Forster, da steht
> eindeutig: §2 Körper-Axiome, Potenzen: Ist x eine reelle
> Zahl, so werden die Potenzen [mm]x^{n}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] durch
> Induktion wie folgt definiert:
> [mm]x^{0}:=1[/mm] , [mm]x^{n+1}:= x^{n}x, \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] 0.
> Des weiteren steht:
> (Man beachte, dass nach Definition auch [mm]0^{0}=1.)[/mm] Das
> sollte ja wohl kein Unfug sein, was der gute Prof. Dr. Otto
> Forster schreibt...
Hallo,
er mag gut sein, er mag Professor sein und von mir aus auch den schönen Vornamen Otto besitzen...
ich habe das Gegenargument genannt.
Ansonsten
guckst du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Null_hoch_null#.E2.80.9ENull_hoch_null.E2.80.9C_in_der_Mathematik
(und sei nicht immer so autoritätsgläubig).
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 So 17.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Aber auch bei Wiki steht als erster Satz zu null hoch null:
In der oben gegebenen Definition wurde [mm] a^{0}=1 [/mm] für alle a gesetzt, also ist [mm] 0^{0}=1 [/mm] nach Definition. Damit widersprichst dir selbst^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:09 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Also ich hab ganz sicher schon des öfteren von einer
> > Konvention gehört, nach der man [mm]0^{0}[/mm] als 1 definiert, das
> > macht zumindest Sinn, wenn man [mm]e^{x}[/mm] als konvergente Reihe
> > schreiben will oder auch bei der geometrischen Reihe macht
> > diese Definition Sinn. Von daher würd ich mal nicht von
> > Humbug sprechen an deiner Stelle.
> Hallo,
> [mm]0^0[/mm] OHNE JEDE WEITERE VORAUSSETZUNG als 1 zu definieren,
> ist Humbug.
Hallo Abakus,
mit Verlaub, was Du schreibst ist Humbug. Weiter unten gibst Du einen Link an, wo man folgendes findet:
""In der oben gegebenen Definition wurde a0 = 1 für alle a gesetzt, also ist insbesondere
[mm] \!\ 0^0=1.
[/mm]
Da [mm] 0^x [/mm] für alle positiven x den Wert 0 hat, wäre auch der Wert 0 denkbar. Wie die Festlegung, dass 1 keine Primzahl ist, ist die Festlegung des Wertes von [mm] 0^0 [/mm] ebenfalls keine Frage von wahr oder falsch, sondern von zweckmäßig oder unzweckmäßig. Siehe auch leeres Produkt."
FRED
> Es ist richtig, dass der Grenzwert von [mm]x^x[/mm] gegen Null
> gleich 1 ist.
> Allerdings ist der Grenzwert von [mm]0^x[/mm] mit x gegen Null eben
> NICHT 1, sondern Null.
> Genau das ist ja die Aufgabe von "L'Hospital", solche erst
> mal unentscheidberen Fälle doch noch zu entscheiden.
> Gruß Abakus
> >
> > Viele Grüße
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Eine andere Möglichkeit wäre, jetz vorerst mal nur den Grenzwert des Exponenten zu betrachten:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \wurzel{x} [/mm] *ln(x) darauf wendet man de l´Hospital an:
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ 0} \wurzel{x}*\bruch{1}{x} [/mm] + ln(x)* [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}= \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{2+ ln(x)}{2\wurzel{x}}. [/mm] Nochmal de l´Hospital darauf losgelassen ist das [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\wurzel{x}}{x}= \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{\wurzel{x}}. [/mm] Und noch ein letztes Mal de l´Hospital: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} 0*2\wurzel{x}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ 0} e^{\wurzel{x}*ln(x)}= e^{0}=1
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 17.05.2009 | | Autor: | cooly |
Vielen Dank, der Ansatz der Exponentenbetrachtung erschein mir logisch.
Jedoch verstehe ich die Anwednung der des l'Hospital nicht ganz.
Am Anfang ist der Exponent ein unbestimmter Ausdruck der Form "0 * [mm] -\infty". [/mm] Nach meiner Formelsammlung muss ich nun eine Umschreibung vornehmen von u(x) * v(x) in die Form [mm] \bruch{v(x)}{\bruch{1}{u(x)}}.
[/mm]
--> [mm] \bruch{ln (x)}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Wenn ich dann den Term betrachte entspricht es einem unbestimmten Ausdruck der Form [mm] "\bruch{\infty}{\infty}".
[/mm]
Wenn ich nun den l'Hospital anwende und ableite komme ich auf das folgende Ergebnis:
- [mm] \bruch{2}{x^{0,5}} [/mm] = -2 [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Stimmt das Ergebnis so auch (da ich zu einem anderen Zwischenergebnis komme) oder wieso darf man gleich am Anfang direkt Nenner und Zähler ableiten?
Vielen Dank!
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Tut mir leid, da hab ich wohl die Regel von de l´Hospital falsch interpretiert, dein Ansatz is mit Sicherheit der Richtige und wenn du auf [mm] -2\wurzel{x} [/mm] den Grenzwert anwendest, is das dann eben 0. Sorry für die Fehlinformation.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 01.07.2009 | | Autor: | cooly |
| Aufgabe | Berechnen Sie im Falle der Existenz folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}-1}{x^{2}-x}) [/mm] |
Ich komme bei dieser Grenzwertberechnung nicht auf das angegebene Ergebnis. Es soll ein Grenzwert von -1 herauskommen.
Nach Umformungen komme ich jedoch auf den folgenden Term:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{3x^{2}-1}{2x^{2}-x})
[/mm]
Am Anfang ist entspricht der Temrn ja [mm] "\infty [/mm] - [mm] \infty" [/mm] .
Aber wie komme ich denn auf den Grenzwert von -1?
Vielen Dank
cooly
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> Berechnen Sie im Falle der Existenz folgenden Grenzwert:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}[/mm] -
> [mm]\bruch{x^{2}-1}{x^{2}-x})[/mm]
mach mal ne Polynomdivision bei [mm] \bruch{x^{2}-1}{x^{2}-x} [/mm] und kürz dann den enstehenden rest, dann kommst zu schnell zum ziel
> Ich komme bei dieser Grenzwertberechnung nicht auf das
> angegebene Ergebnis. Es soll ein Grenzwert von -1
> herauskommen.
>
> Nach Umformungen komme ich jedoch auf den folgenden Term:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{3x^{2}-1}{2x^{2}-x})[/mm]
>
> Am Anfang ist entspricht der Temrn ja [mm]"\infty[/mm] - [mm]\infty"[/mm] .
>
> Aber wie komme ich denn auf den Grenzwert von -1?
>
> Vielen Dank
> cooly
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Do 02.07.2009 | | Autor: | cooly |
Kann ich also bei solche Grenzwertberechnungen mit Hilfe des l'Hopital immer erst einmal versuchen den Term zu kürzen, bevor ich den l'Hopital anwende und den Grenzwert berechne?
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Hallo cooly,
> Kann ich also bei solche Grenzwertberechnungen mit Hilfe
> des l'Hopital immer erst einmal versuchen den Term zu
> kürzen, bevor ich den l'Hopital anwende und den Grenzwert
> berechne?
Na klar, das ist immer sinnvoll, gelegentlich hebt sich dabei eine gemeinsame NST von Zähler und Nenner weg und du kannst "gefahrlos" den Grenzübergang machen, ohne dass de l'Hôpital noch nötig würde.
zB. [mm] $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x^2+x-2}$ [/mm] ...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie im Falle der Existenz folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}[/mm] -
> [mm]\bruch{x^{2}-1}{x^{2}-x})[/mm]
> Ich komme bei dieser Grenzwertberechnung nicht auf das
> angegebene Ergebnis. Es soll ein Grenzwert von -1
> herauskommen.
>
> Nach Umformungen komme ich jedoch auf den folgenden Term:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{3x^{2}-1}{2x^{2}-x})[/mm]
Da hast Du falsch gerechnet !!
>
> Am Anfang ist entspricht der Temrn ja [mm]"\infty[/mm] - [mm]\infty"[/mm] .
>
> Aber wie komme ich denn auf den Grenzwert von -1?
Weil
[mm] $\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}-1}{x^{2}-x}= [/mm] -1$
ist, wenn man richtig rechnet
FRED
>
> Vielen Dank
> cooly
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Do 02.07.2009 | | Autor: | cooly |
Mich würde trotzdem interessieren, ob ich auf die Lösung gekommen wäre, wenn ich nicht gekürzt hätte.
Der Ausgangsterm entspricht einem unebstimmten Ausdruck der Form [mm] "\infty [/mm] - [mm] \infty" [/mm] und in meiner Formelsammlung steht dazu folgende Umformung:
f(x) = u(x) - v(x) = (1 - [mm] \bruch{v(x)}{u(x)}) [/mm] * u(x)
Der Term würde dann lauten:
(1 - [mm] \bruch{x^{2}-1}{x^{2}-x} [/mm] * x) * [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Vereinfacht und auf den Hauptnenner gebracht wäre es dann:
[mm] (\bruch{x-1-x^{2}+1}{x-1}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x-x^{2}}{x^{2}-x} [/mm] = [mm] \bruch{1-x}{x-1}
[/mm]
Wenn ich dann für x null einsetze bekomme ich -1 raus. Wäre das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Do 02.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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