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Guten Tag, ich habe eine Frage zu meinem Skript.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in\IR [/mm] ->
für alle [mm] c\in\IR: \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)=a+c
[/mm]
Meine Frage:Wieso muss [mm] a\in\IR [/mm] sein?Ich bin der Meinung, dass bestimmte Divergenz ausreicht.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty [/mm] ->
für alle [mm] c\in\IR: \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)=\infty
[/mm]
Das c spielt doch keine rolle mehr oder liege ich falsch? Die Summe einer divergenten und einer konvergenten Folge divergiert. Die summe einer bestimmt divergenten und einer konvergenten Folge divergiert bestimmt.Soweit richtig?
Bsp: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(n+2)=\infty [/mm] ist klar. Die Grenzwertsätze darf ich aber nicht verwenden,also das hier ist falsch: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(n+2)=2+\limes_{n\rightarrow\infty}n=\infty, [/mm] DENN [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n=\infty\not\in\IR.
[/mm]
Kann mir bitte jemand ein Gegenbsp geben?
1) also eine Folge [mm] a_n [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty [/mm] und [mm] c\in\IR [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)\not=\infty [/mm] ?
2) eine Folge [mm] a_n [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty [/mm] und eine Folge [mm] b_n [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=b\in\IR [/mm] SODASS
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)\not=\infty [/mm] gilt.
Wenn es kein Gegenbeispiel gibt,dann verstehe ich nicht weshalb man die Grenzwertsätze bezüglich der Addition einschränkt.... Danke für jede Hilfe!!!!
Liebe Grüße
Bjoern
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Mo 17.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Guten Tag, ich habe eine Frage zu meinem Skript.
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in\IR[/mm] ->
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> für alle [mm]c\in\IR: \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)=a+c[/mm]
>
> Meine Frage:Wieso muss [mm]a_n\in\IR[/mm] sein?Ich bin der Meinung,
> dass bestimmte Divergenz ausreicht.
Hallo, deine Frage klingt so, als würdest du diese Bedingung [mm]a_n\in\IR[/mm] als freiheitsberaubende Einschränkung empfinden.
Es ist doch aber gerade die weitestgehende Freigabe für alle denkbaren Möglichkeiten (Einschränkung: solange man die komplexen Zahlen nicht kennt).
Gruß Abakus
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty[/mm] ->
>
> für alle [mm]c\in\IR: \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)=\infty[/mm]
>
> Das c spielt doch keine rolle mehr oder liege ich falsch?
> Bsp: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(n+2)=\infty[/mm] ist klar.
> Wieso geht das nicht:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(n+2)=2+\limes_{n\rightarrow\infty}n=\infty[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand ein Gegenbsp geben? also eine Folge
> [mm]a_n[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty[/mm] und [mm]c\in\IR[/mm]
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)\not=\infty[/mm] ?
>
>
> Liebe Grüße
> Bjoern
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> > Guten Tag, ich habe eine Frage zu meinem Skript.
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in\IR[/mm] ->
> >
> > für alle [mm]c\in\IR: \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)=a+c[/mm]
>
> >
> > Meine Frage:Wieso muss [mm]a_n\in\IR[/mm] sein?Ich bin der
> Meinung,
> > dass bestimmte Divergenz ausreicht.
>
> Hallo, deine Frage klingt so, als würdest du diese
> Bedingung [mm]a_n\in\IR[/mm] als freiheitsberaubende Einschränkung
> empfinden.
> Es ist doch aber gerade die weitestgehende Freigabe für
> alle denkbaren Möglichkeiten (Einschränkung: solange man
> die komplexen Zahlen nicht kennt).
> Gruß Abakus
Es geht mir auch darum dass [mm] a_n [/mm] bestimmt divergieren kann.Weiter unten geht es mir dann darum,dass die Grenzwertsätze zur Addition auch gelten müssten für bestimmt
divergente Folgen und nicht nur konvergente......
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> > > Meine Frage:Wieso muss [mm]a_n\in\IR[/mm] sein?
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> Es geht mir auch darum dass [mm]a_n[/mm] bestimmt divergieren
> kann.
Hallo,
Du meinst also: warum muß [mm] a\in \IR [/mm] sein. (Nicht [mm] a_n)
[/mm]
LG Angela
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Hallo Angela.Tut mir leid, du hast Recht.Das meine ich. Ich überarbeite das mal.Danke Dir!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mo 17.03.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo,
was Abakus meinte:
Dein Satz sagt doch nicht aus, dass es für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\infty [/mm] NICHT gilt.
Bsp:
Satz: 30 ist teilbar durch 5 und durch 2.
Das heißt NICHT, dass 30 nicht auch teilbar durch 10 ist.
In Deinem Beispiel hat man auf den Fall
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\infty [/mm] wohl bewusst verzichtet, da [mm] \infty [/mm] keine Zahl in dem Sinne ist, und man daher erst definieren müsste, was man mit [mm] \infty [/mm] + 2 überhaupt meint.
Anschaulich gesehen hast Du natürlich Recht.
Divergiert eine Folge ins Unendliche, dann kann ich eine konstante Zahl hinzuaddieren: An der Divergenz ändert das nichts.
Gruß.
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> Hallo,
>
> was Abakus meinte:
>
> Dein Satz sagt doch nicht aus, dass es für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\infty[/mm] NICHT gilt.
Das habe ich geändert.Ich meinte [mm] a\in\IR [/mm] und nicht [mm] a_n\in\IR.a_n [/mm] muss dennoch eine reelle Folge sein.
> In Deinem Beispiel hat man auf den Fall
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\infty[/mm] wohl bewusst
> verzichtet, da [mm]\infty[/mm] keine Zahl in dem Sinne ist, und man
> daher erst definieren müsste, was man mit [mm]\infty[/mm] + 2
> überhaupt meint.
>
> Anschaulich gesehen hast Du natürlich Recht.
> Divergiert eine Folge ins Unendliche, dann kann ich eine
> konstante Zahl hinzuaddieren: An der Divergenz ändert das
> nichts.
Besteht weiterhin meine Frage.Wieso ist AUCH bei der Voraussetzung des Grenzwertsatzes für Addition es nicht erlaubt eine bestimmt divergente und eine konvergente Folge zu betrachten?
Sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty [/mm] (bestimmt divergent) und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=b\in\IR [/mm] konvergent. -> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n+b_n=\infty. [/mm] Soweit ist es klar.Aus welchem Grund wird beim Grenzwertsatz bei der Addition auch verlangt dass [mm] a_n [/mm] konvergiert [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}=a\in\IR)? [/mm] Nach den Grenzwertsätzen darf ich das eben eigt nicht machen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n+b_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\infty+b=\infty,da \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty\not\in\IR. [/mm] Ich darf aber folgedes (ohne die Grenzwertsätze machen): [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n+b_n=\infty.
[/mm]
Ich bin verwirrt.....
LG
Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Di 18.03.2014 | | Autor: | Paivren |
siehe unten
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Falls noch etwas unklar ist bitte nachfragen!Ich probiere
schon seit mehreren Stunden ein Gegenbsp zu finden. :-( Vielleicht sollte ich es für heute sein lassen und probieren morgen zu beweisen?Ansonsten freue ich mich über jede Antwort hier! Danke euch!
LG
Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Di 18.03.2014 | | Autor: | Paivren |
Ok, die Änderung habe ich nicht gesehen, ist aber doch praktisch noch das selbe!
> Guten Tag, ich habe eine Frage zu meinem Skript.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in\IR[/mm] ->
>
> für alle [mm]c\in\IR: \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)=a+c[/mm]
>
> Meine Frage:Wieso muss [mm]a\in\IR[/mm] sein?Ich bin der Meinung,
> dass bestimmte Divergenz ausreicht.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty[/mm] ->
>
> für alle [mm]c\in\IR: \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)=\infty[/mm]
>
> Das c spielt doch keine rolle mehr oder liege ich falsch?
Nein, da liegst du richtig.
Es ist der Übersicht halber so aufgeschrieben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)=a+c
[/mm]
Wenn nun a= [mm] \infty [/mm] wäre, würde hinter dem "=" ein [mm] "\infty [/mm] +c" stehen, und das ist nicht definiert und wäre demnach fehl am Platze.
Natürlich kannst du eine Bemerkung ergänzen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)=\infty [/mm] für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n =\infty.
[/mm]
Das solltest du dann allerdings auch fix beweisen:
Zeige:
Zu jedem [mm] k\in \IR [/mm] ex. [mm] n_{0} \in \IN [/mm] mit [mm] a_{n}+c>k [/mm] für alle [mm] n>n_{0} [/mm] und c=const [mm] \in \IR.
[/mm]
Sei also k [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] a_{n}+c [/mm] > k <--> [mm] a_{n} [/mm] > k-c.
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] gibt es zu jeder Zahl (k-c) entsprechend ein [mm] n_{0}, [/mm] sodass die Ungleichung für alle [mm] n>n_{0} [/mm] erfüllt ist.
--> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}+c)=\infty.
[/mm]
> Die Summe einer divergenten und einer konvergenten Folge
> divergiert. Die summe einer bestimmt divergenten und einer
> konvergenten Folge divergiert bestimmt.Soweit richtig?
>
> Bsp: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(n+2)=\infty[/mm] ist klar. Die
> Grenzwertsätze darf ich aber nicht verwenden,also das hier
> ist falsch:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(n+2)=2+\limes_{n\rightarrow\infty}n=\infty,[/mm]
> DENN [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n=\infty\not\in\IR.[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand ein Gegenbsp geben?
>
> 1) also eine Folge [mm]a_n[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty[/mm] und [mm]c\in\IR[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+c)\not=\infty[/mm] ?
>
> 2) eine Folge [mm]a_n[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty[/mm]
> und eine Folge [mm]b_n[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=b\in\IR[/mm] SODASS
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)\not=\infty[/mm] gilt.
>
> Wenn es kein Gegenbeispiel gibt,dann verstehe ich nicht
> weshalb man die Grenzwertsätze bezüglich der Addition
> einschränkt.... Danke für jede Hilfe!!!!
>
>
> Liebe Grüße
> Bjoern
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Ich danke dir für deine Antwort Paivren! Damit haben sich alle meine Fragen geklärt!
LG Björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:49 Di 18.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Du kannst dir übrigens auch dazu das hier durchlesen. Dort geht es
um die Multiplikation, aber vielleicht hilft es dir auch weiter.
Das ganze als Mitteilung, damit die Frage verschwinden. 
Gruß
DieAcht
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