Grenzwert < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Hoi.
Ich soll [mm] \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x^z} [/mm] und [mm] \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x}{x^k} [/mm] berechnen. Dabei ist x aus R, z > 0 und k aus N.
LHospital bringt mich hier nicht weiter. Ich bin aufgeschmissen.
Oder geht das bei der ersten mit LHospital
[mm] \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x^z} [/mm] = [mm] \frac{1}{x}*\frac{1}{z*x^{z-1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{x*z*x^{z-1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{z*x^z} [/mm] = 0 .
Ich habe das Limeszeichen vergessen.Sehe trotzdem schlecht aus bei der zweiten Aufgabe.
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Hallo Wehm,
zur zweiten Aufgabe vielleicht folgendes:
[mm] \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x}{x^k}
[/mm]
Hier kann doch der gute Meister l'Hospital helfen, wenn ich nicht irre.
Wenn du Zähler und Nenner k-mal ableitest, bleibt doch [mm] \bruch{e^x}{k!}
[/mm]
und das geht gegen [mm] \infty [/mm] für [mm] x\rightarrow\infty
[/mm]
Bei dem ersten Grenzwert hilft l'Hospital auch, da nach dem ersten Male ableiten [mm] \bruch{1}{2x^2} [/mm] bleibt, und das geht gegen [mm] \bruch{1}{\infty}=0 [/mm] für [mm] x\rightarrow\infty
[/mm]
Eine andere Möglichkeit ist vllt. der Hinweis, dass der ln schwächer wächst als [mm] \bold{jede} [/mm] Wurzel [mm] \wurzel{x}, [/mm] dass also gilt: [mm] \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{\wurzel[z]x}=0 [/mm] und damit auch [mm] \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x^z}=0 [/mm] für jedes z>0
(Das kann man - glaube ich - durch Rückführung auf die e-Fkt beweisen)
Hoffe, das hilft dir ein wenig weiter
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Hi,
>
> zur zweiten Aufgabe vielleicht folgendes:
>
> [mm]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x}{x^k}[/mm]
>
> Hier kann doch der gute Meister l'Hospital helfen, wenn ich
> nicht irre.
>
> Wenn du Zähler und Nenner k-mal ableitest, bleibt doch
> [mm]\bruch{e^x}{k!}[/mm]
>
> und das geht gegen [mm]\infty[/mm] für [mm]x\rightarrow\infty[/mm]
Das ist echt ne spitzen überlegung!
> Bei dem ersten Grenzwert hilft l'Hospital auch, da nach dem
> ersten Male ableiten [mm]\bruch{1}{2x^2}[/mm] bleibt, und das geht
> gegen [mm]\bruch{1}{\infty}=0[/mm] für [mm]x\rightarrow\infty[/mm]
Kann es sein, dass du das z für eine 2 gehalten hast? Aber ich entnehme daraus dass ich das ruhig so schreiben kann $ [mm] \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x^z} [/mm] $ = $ [mm] \frac{1}{x}\cdot{}\frac{1}{z\cdot{}x^{z-1}} [/mm] $ = $ [mm] \frac{1}{x\cdot{}z\cdot{}x^{z-1}} [/mm] $ = $ [mm] \frac{1}{z\cdot{}x^z} [/mm] $ = 0 . Oder verstehe ich das falsch?
Gruß, Wehm
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Moin,
setze den Exponenten in geschweifte Klammer {a}, dann klappt das auch mit dem [mm] x^{a}
[/mm]
cu
schachuzipus
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