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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Fr 15.06.2007 | | Autor: | sandra26 |
| Aufgabe | | [mm] a_{n}=\bruch{6_{n^4} - 3_{n²} + 19}{4_{n³} + 6_{n}} [/mm] |
hallo an euch alle,
könnt ihr mir bitte an dieser aufgabe kurz erklären wie man an solchen aufgaben rangeht, auf was man achten muss, wie man solche aufgaben löst?
danke für eure hilfe im voraus
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Hallo Sandra,
es ist immer ganz nützlich, die größte gemeinsame Potenz von n im Zähler und Nenner auszuklammern.
Man kann aber auch ohne Umformungen mit einem Blick auf den höchsten Zähler- und den höchsten Nennergrad "sehen", ob die Folge konvergiert oder divergiert.
Wenn den Nennergrad höher ist als der Zählergrad, so wächst der Nenner ja für riesengroße n viel viel schneller als der Zähler, das ganze wird also gegen 0 gehen.
Ist aber der Zählergrad höher als der Nennergrad, so wird der Zähler für sehr große n viel größer als der Nenner, das Teil wird also gegen [mm] \infty [/mm] divergieren - das ist hier in deinem Bsp auch der Fall.
Wenn Zähler- und Nennergrad gleich sind, klammere die höchste Potenz von n im Zähler und im Nenner aus, dann kannste die kürzen und den Grenzübergang [mm] n\to\infty [/mm] machen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Fr 15.06.2007 | | Autor: | sandra26 |
hallo,
aber bei meinem beispiel haben zähler und nenner nicht denselben höchsten grad. was muss ich in diesem fall tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Fr 15.06.2007 | | Autor: | JulianB |
Du musst einfach nur schaun, ob die höchste Potenz im Zähler oder im Nenner ist, in deinem Fall ist die im Zähler, also Divergiert die Reihe, das heißt, sie geht nicht gegen eine festen Wert, sondern gegen [mm][mm] \pm\infty[/mm] [mm], wäre der Grad im Nenner Größer als der Grad im Zähler würde die Reihe gegen Null streben. wenn Sie gegen [mm][mm] \pm\infty[/mm] [mm] strebt musst du nur noch entscheiden ob nach [mm][mm] +\infty[/mm] [mm]oder[mm][mm] -\infty[/mm] [mm], das geht ganz einfach indem du schaust ob die Vorfakroren bei Zähler und Nenner positiv oder negativ sind. Sind beide gleich, so strebt die Folge gegen [mm][mm] +\infty[/mm] [mm], unterschiedlich so gegen [mm][mm] -\infty[/mm] [mm]. Haben Zähler und Nenner die gleiche Höchste Potenz, so divergiert die Reihe mit einer Asympthote, deren Steigung sich aus dem Bruch der jeweiligen Vorfaktoren ergibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Fr 15.06.2007 | | Autor: | sandra26 |
hallo julianB,
danke für deine erklärung.
also meine aufgabe ist divergent gegen [mm] +\infty [/mm] soweit ich es verstanden habe.
was ist mein nächster schritt? wie ist der grenzwert rechnerisch zu lösen?
danke für deine hilfe im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Fr 15.06.2007 | | Autor: | JulianB |
Hallo Sandra,
die Höchste gmeinsame Potenz ist [mm][mm] n^3[/mm] [mm], wenn du die ausklammerst erhälst du [mm][mm] \frac{n^3}{n^3}*\frac{6n-\frac{3}{n}+\frac{19}{n^3}}{4+\frac{6}{n^2}}
[/mm]
[mm] \frac{n^3}{n^3} [/mm] ist natürlich 1, und alles wo n im Nenner steht geht für hohe n natürlich gegen Null, letztendlich bleibt für hohe n nur der Term [mm] \frac{6n}{4} [/mm] stehen, was deine Asymptote ist, die für große n natürlich gegen [mm] +\infty [/mm] strebt. Ich habe mich eben vertan, eine Asymptote mit der entsprechenden Steigung erhälst du, wenn die Zählerpotenz um eins höher ist als die Nennerpotenz.[mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Fr 15.06.2007 | | Autor: | sandra26 |
| Aufgabe | | [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{6_{n^4} - 3_{n^2} +19}{3_{n} - 6_{n^4} + n_{5}} [/mm] |
hallo,
also mal sehen ob ich es verstanden habe.
bei dieser aufgabe handelt es sich um eine nullfolge, weil der höchste grad im nenner ist.
...
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^4 (6 - \bruch{3}{n^2} + \bruch{19}{n^4})}{n^4 (\bruch{3}{n^3}- 6 + n)}
[/mm]
= [mm] \bruch{6 - 0 + 0}{0 - 6 + n}
[/mm]
= [mm] \bruch{6}{-6 + n} [/mm] (richtig oder falsch ???)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Fr 15.06.2007 | | Autor: | g_hub |
richtig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Fr 15.06.2007 | | Autor: | sandra26 |
| Aufgabe | | [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{6_{n^4} - 3_{n^2} + 19}{9_{n^4} - 17_{n}} [/mm] |
nun noch eine letzte aufgabe.
diese aufgabe ist konvergent, weil zähler und nenner den gleichen höchsten grad haben.
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{6_{n^4} - 3_{n^2} + 19}{9_{n^4} - 17_{n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^4 (6- \bruch{3}{n^2} - \bruch{19}{n^4})}{n^4 (9 - \bruch{17}{n^3})}
[/mm]
= [mm] \bruch{6 - 0 + 0}{9 - 0}
[/mm]
= [mm] \bruch{6}{9} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] (richtig oder falsch ??? )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Fr 15.06.2007 | | Autor: | JulianB |
richtig :) in diesem Fall hast du einen festen Grenzwert ungleich null.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Fr 15.06.2007 | | Autor: | sandra26 |
ich danke euch allen für eure hilfe, endlich habe ich es verstanden, war doch nicht so schwer ich es mir gedacht habe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Fr 15.06.2007 | | Autor: | JulianB |
du hast es verstanden, aber ich dieses Forum noch nicht so ganz :D
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