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| Aufgabe | Berechnen Sie den folgenden Grenzwert.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (1+\bruch{3}{5*x+7})^x [/mm] |
Hoffe mal, dass ich das hier ins richtige Forum poste.
zur Aufgabe:
...mittels elementarer Umformung erhalte ich ja dann etwas in der Form:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{x* \ln(1+\bruch{3}{5*x+7})} [/mm]
aber wie dann weiter?
Die Lösung müsste [mm] e^{(\bruch{3}{5})} [/mm] sein.
Ich hoffe das mir jemand helfen kann...ich steig da nicht durch.
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danke für die fixe antwort, so hatte ich mir das auch gedacht aber irgendwor verhasple ich mich immer:
habe jetz nach Hospital den Zähler und den Nenner abgeleitet:
Zähler:
[mm]f_Z'(x) = - \bruch{1}{\bruch{15}{(5x+7)^2}} [/mm]
Nenner:
[mm]f_N'(x) = - \bruch{1}{x^2} [/mm]
Zusammenen müsste dann dieser schöne 3-fach Bruch entstehen:
[mm] \bruch{\bruch{1}{-\bruch{15}{(5x+7)^2}}}{\bruch{1}{\bruch{1}{-\bruch{1}{x^2}}}}[/mm]
...oder hab ich da schon vorher einen Fehler gemacht?
...und vor allem wie forme ich diesen Bruch zu was sinnvollem um?
=)
mfg markus
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Hi Markus,
du hast bei der Ableitung des Zählers was falsch.
Das kannste mit der Kettenregel verarzten:
[mm] f_Z(x)=\ln\left(1+\frac{3}{5x+7}\right)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_Z'(x)=\underbrace{\frac{1}{1+\frac{3}{5x+7}}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\left(-\frac{15}{(5x+7)^2}\right)}_{\text{innere Ableitung}}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\frac{5x+10}{5x+7}}\cdot{}\frac{-15}{(5x+7)^2}=\frac{-15}{5(x+2)(5x+7)}=-\frac{3}{(x+2)(5x+7)}
[/mm]
[mm] f_N'(x) [/mm] stimmt
zusammen also [mm] \frac{f_Z'(x)}{f_N'(x)}=-\frac{3}{(x+2)(5x+7)}\cdot{}\left(-\frac{x^2}{1}\right)=\frac{3x^2}{(x+2)(5x+7)}
[/mm]
Das nun ausmultiplizieren und die höchste Potenz ausklammern und dann [mm] x\to\infty
[/mm]
Dann haste den GW. Anschließend noch [mm] e^{GW}
[/mm]
Und fertig 
LG
schachuzipus
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ok danke das leuchtet ein ^^
aber noch eine banale Frage, wie kommt du dann auf den Term
[mm]=\frac{1}{\frac{5x+10}{5x+7}}[/mm] ?
also die 10/7 sind mir klar aber das 5x plötzlich oben und unten stehen??
mfg markus
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Hallo,
das Geheimnis lautet "gleichnamig machen"
Es ist ja [mm] \frac{1}{\red{1}+\frac{3}{5x+7}}=\frac{1}{\red{\frac{5x+7}{5x+7}}+\frac{3}{5x+7}}=\frac{1}{\frac{5x+10}{5x+7}}
[/mm]
[mm] =\frac{5x+7}{5x+10}
[/mm]
Dann 5x+7 kürzen gegen einmal 5x+7 aus dem Quadrat im Nenner des anderen Bruchs...
Gruß und gute N8
schachuzipus
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> Berechnen Sie den folgenden Grenzwert.
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (1+\bruch{3}{5*x+7})^x[/mm]
Es ist bekannt, dass
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{k})^k=e[/mm]
ist.
Setze einfach [mm] \bruch{3}{5*x+7}=\bruch{1}{k} [/mm] und damit
[mm] x=\bruch{3k-7}{5}.
[/mm]
Damit ergibt sich
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (1+\bruch{3}{5*x+7})^x
=\limes_{k\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{k})^{k(3/5-7/5k)}=\limes_{k\rightarrow\infty} \left{(}(1+\bruch{1}{k})^{k}\rigtht{)}^{\limes_{k\rightarrow\infty}(3/5-7/5k)}[/mm]
Der erste Teil geht nach e, der äußere Exponent nach 3/5.
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Danke für die fixen Antworten...ich glaub ich habs geschnallt. =)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
. Aus Gründen der Stetigket der e-Funktion gilt auch:
de l'Hospital