Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\(1} \bruch{x³-1}{x-1} [/mm] = ? |
Ich würde mich einfach immer weiter links (0,9999...) und rechts (1,0000...1) von der 1 nähern und f(x) jeweils ausrechnen und gucken, gegen welche Werte die Funktion dabei strebt.
Kann man das aber irgendwie berechnen?
Ich kenne den Trick für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}, [/mm] dass man z. B. dann hat:
1/x² - 1/x
------------
1 - 1/x,
und dann guckt, wohin das strebt, da man weißt, dass 1/x --> 0 für x --> [mm] \infty.
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Do 15.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
1.) falls Du schon einmal etwas von "Polynomdivision" gehört hast, so hilft Dir dies hierbei weiter. Indem Du das Polynom [mm] $x^3-1$ [/mm] durch $x-1$ teilst, bekommst Du
[mm] $(x^3-1):(x-1)\,=\,x^2+x+1$
[/mm]
Lassen wir $x$ nun gegen den Wert 1 laufen, so erhalten wir auf der rechten Seite den Grenzwert 3.
2.) Falls Du die Polynomdivision nicht kennen solltest, dann solltest Du aber Nullstellen berechnen können, damit du den Zähler in Linearfaktoren schreiben kannst. Das Polynom [mm] $x^3-1$ [/mm] besitzt die Nullstelle 1, die sich sofort ablesen lässt. Damit haben wir
[mm] $\frac{x^3-1}{x-1}\,=\,\frac{(x-1)\cdot(x^2+x+1)}{(x-1)}\,=\,x^2+x+1$
[/mm]
Auch in diesem Fall gibt uns der Limes den Wert 3.
3.) Das schönste nun zum Schluss: Eine weitere Möglichkeit ist die Regel von L'Hospital. Da für $x$ gegen 1 sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen 0 geht, darfst du die Regel von L'Hospital anwenden, die besagt, dass der Grenzwert den du suchst, gleich dem Grenzwert von
dem Bruch der Ableitungen ist, also von
[mm] $\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}\,=\lim_{x\to 1}\frac{3x^2}{1}\,=\,3$
[/mm]
Gruß
|
|
|
|
